1 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．

【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

	思路一	思路二
第一步	如图2，连接，，证明；	如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步	利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达

（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．

2 . 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形中，点E是边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线于点H，交于点F．为了探究与之间的数量关系，在如图2中，作，交的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形中，，，，于点G，交于点H，交于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形中，，E是的中点，，交于点G，交于点F．请直接写出的值．

   

3 . 阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，和都是等边三角形，将绕着点旋转，求证：．
【探究发现】（1）小百合很快就通过，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图2，将绕着点旋转，其中那么和有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形矩形，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转，连接、，直线交于点，在旋转的过程中，试证明为的中点．
   

4 . 综合与实践
【问题情境】
为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．

图1

【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．
老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？
经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形．”
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点．
请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由．

【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长．”
老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．

图4

5 . 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

   

【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

   

【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

   

6 . 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

   

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．