2 . 【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形．
【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H．
【问题解决】（1）证明是型三角形；
（2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形；
【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积．

4 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．

【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

	思路一	思路二
第一步	如图2，连接，，证明；	如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步	利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达

（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．

5 . 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形中，点E是边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线于点H，交于点F．为了探究与之间的数量关系，在如图2中，作，交的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形中，，，，于点G，交于点H，交于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形中，，E是的中点，，交于点G，交于点F．请直接写出的值．

   

7 . 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

   

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．

   

8 . 阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，和都是等边三角形，将绕着点旋转，求证：．
【探究发现】（1）小百合很快就通过，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图2，将绕着点旋转，其中那么和有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形矩形，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转，连接、，直线交于点，在旋转的过程中，试证明为的中点．
   

9 . 问题背景：小李在探究几何图形的时候，发现了一组非常神奇的性质：如图1，等边三角形中，连接可以得到，好学的他发问取的中点，得到的是特殊三角形吗？请说明理由；
迁移应用：如图2，在正方形中，点O为的中点，构造正方形绕O点进行旋转，，连接，求的值；
联系拓展：如图3，等腰，中， ，当绕B点旋转的过程中取的中点M，N，连接，若，且时，直接写出的长度．