1 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系；
(3)问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．

4 . 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则              ，            ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．

5 . 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°．

〖特例探究〗如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．

〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．

〖拓展探究〗如图4，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．

6 . [问题背景]为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度可以自动打开窗子上的通风口换气通风口为（其余部分均不通风），为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．已知边框，设为，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
   
[初步探究]
（1）若，，与之间的距离为，通风口的面积为
①当时，直接写出y与x的函数关系是______；
②当时，求y与x的函数关系；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少?
[拓展提升]
（2）若伸缩杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是______．通风口的最大面积是______（用含a，h的代数式表示）．

7 . 完成下列各题：

图（1）                            图（2）                                 图（3）

(1)【问题探究】如图（1）在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，则的长度为_______．
(2)【类比迁移】如图（2）在矩形中，，，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度．
(3)【拓展应用】如图（3）李大爷家有一块平行四边形的菜地，测得米，米，，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计），求新开出的小路的长度．

8 . 问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．

问题探究：

（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；

（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；

问题拓展：

将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．

9 . 下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．

如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．

(1)观察发现

写出图1中一个与相似的三角形：　                  　．

(2)迁移探究

当与的交点H恰好是的中点时，如图2．

①设，请判断的数量关系，并说明理由；

②求阴影部分的面积．

(3)拓展应用

当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长．