1 . 阅读材料：如图，在中，，，点在边上，于点，于点，则．（此结论不必证明，可直接应用）

【理解与应用】
如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在边上，于点，于点，则的值为________．
【类比与推理】
如图，矩形的对角线，相交于点，，，点在边上，交于点，交于点，求的值；
【拓展与延伸】
如图，的半径为，，，，是上的四点，过点，的切线，相交于点，点在弦上，交于点，于点，当时，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2 . 如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值．

3 . 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S_△ABD：S_△ABC=　 　；当点D是BC边上任意一点时，S_△ABD：S_△ABC=　 　（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S_△BOC与S_△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

4 . 在中，，，点为边上一动点，且，交边于点．探究：如图1，若．

   

(1)当时，求的长；
(2)当为等腰三角形时，求的长；
(3)延伸：如图2，若，为上一点，且．小东经过研究发现：“当点在边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值；如果不正确，说明理由；
(4)若，直接写出的值．

5 . 如图，是等边三角形，点D，B，C，E在同一条直线上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)探究，，之间的数量关系，并说明理由．

6 . 已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点重合），折痕交边于点．

【特例感知】如图1，若，是的中点，求证：；
【变式求异】如图2，若，，，过点作于点，求和的长；
【化归探究】如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围．

9 . 嘉淇做数学探究实验，如图，已知：，为直角三角形，其中，，，，现以为边作四边形，且，，．
第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上；
第二步，如图2，将绕点O逆时针方向旋转，每秒旋转，，分别与边交于点M，N；
第三步，如图3，当旋转到点P落在上时停止旋转，此时点Q恰好在上；
第四步，如图4，在第三步的基础上，点O带动立即沿边从点A向点E平移，每秒个单位长度，当点O与点E重合时停止运动．
设整个过程中的运动时间为秒．
       
(1)如图1中，①求证；②求AE的长
(2)如图2，嘉淇发现的值为定值k，请求出k的值；
(3)如图3，当从初始位置到点P落在CD上时，求PD的长度；
(4)当点P落在四边形的边上时，直接写出对应的t值．

10 . 在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点，，在一条直线上，连接，（如图1）．

(1)在图1的基础上，将正方形绕着点沿顺时针方向旋转，如图2所示，求证：且．
(2)如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若，，矩形在顺时针旋转过程中，当点，，在同一直线时，请直接写出的值．