名校
解题方法
1 . 几何探究:
【问题发现】
(1)如图1所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形,BD、CE的关系是_______(选填“相等”或“不相等”);(请直接写出答案)
【类比探究】
(2)如图2所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)如图3所示,△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形,将△ADE绕点A自由旋转,若,当B、D、E三点共线时,直接写出BD的长.
【问题发现】
(1)如图1所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形,BD、CE的关系是_______(选填“相等”或“不相等”);(请直接写出答案)
【类比探究】
(2)如图2所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)如图3所示,△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形,将△ADE绕点A自由旋转,若,当B、D、E三点共线时,直接写出BD的长.
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2020-07-03更新
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852次组卷
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4卷引用:2022年河北省中考模拟数学试题
2 . 问题发现:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=k•AC(k>1),D是AB上一点,DE∥BC,则BD,EC的数量关系为 .
类比探究
(2)如图2,将△AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0°<a<90°),连接CE,BD,请问(1)中BD,EC的数量关系还成立吗?说明理由
拓展延伸:
(3)如图3,在(2)的条件下,将△AED绕点A继续旋转,旋转角为a(a>90°).直线BD,CE交于F点,若AC=1,AB=,则当∠ACE=15°时,BF•CF的值为 .
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=k•AC(k>1),D是AB上一点,DE∥BC,则BD,EC的数量关系为 .
类比探究
(2)如图2,将△AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0°<a<90°),连接CE,BD,请问(1)中BD,EC的数量关系还成立吗?说明理由
拓展延伸:
(3)如图3,在(2)的条件下,将△AED绕点A继续旋转,旋转角为a(a>90°).直线BD,CE交于F点,若AC=1,AB=,则当∠ACE=15°时,BF•CF的值为 .
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2019-06-21更新
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365次组卷
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7卷引用:2023年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试题
2023年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试题2019年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷(已下线)专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品(河南)河南省信阳市2019-2020学年九年级下学期3月月考数学试题2020年河南联盟考试数学试题河南省新乡市封丘县金瀚学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题4.45 相似三角形几何模型(旋转模型)(基础练)-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
3 . 试探究:
小张在数学实践活动中,画了一个△ABC,∠ACB=90°,BC=1,AC=2,再以点B为圆心,BC为半径画弧交AB于点D,然后以A为圆心,AD长为半径画弧交AC于点E,如图1,则AE= ;此时小张发现AE2=AC•EC,请同学们验证小张的发现是否正确.
拓展延伸:
小张利用图1中的线段AC及点E,构造AE=EF=FC,连接AF,得到图2,试完成以下问题:
(1)求证:△ACF∽△FCE;
(2)求∠A的度数;
(3)求cos∠A的值;
应用迁移:利用上面的结论,求半径为2的圆内接正十边形的边长.
小张在数学实践活动中,画了一个△ABC,∠ACB=90°,BC=1,AC=2,再以点B为圆心,BC为半径画弧交AB于点D,然后以A为圆心,AD长为半径画弧交AC于点E,如图1,则AE= ;此时小张发现AE2=AC•EC,请同学们验证小张的发现是否正确.
拓展延伸:
小张利用图1中的线段AC及点E,构造AE=EF=FC,连接AF,得到图2,试完成以下问题:
(1)求证:△ACF∽△FCE;
(2)求∠A的度数;
(3)求cos∠A的值;
应用迁移:利用上面的结论,求半径为2的圆内接正十边形的边长.
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2011·江苏淮安·中考真题
真题
4 . 情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
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2019-01-30更新
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1304次组卷
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13卷引用:2014届河北石家庄外国语教育集团九年级上第二阶段考试数学试卷
2014届河北石家庄外国语教育集团九年级上第二阶段考试数学试卷(已下线)2011年初中毕业升学考试(江苏淮安卷)数学(已下线)2011年初中毕业升学考试(江苏盐城卷)数学(已下线)2012届浙江省椒江区九年级二模数学试卷(已下线)2012届浙江临海灵江中学九年级中考模拟(二)数学试卷2013年初中数学单元提优测试卷-相似的判定解答题2015届山东省东营市中考全真模拟数学试卷2016届四川省乐山市峨边县民族中学九年级下第一次月考数学试卷湖南省岳阳市九校2017届九年级下学期联合模拟数学试卷【校级联考】山西省临汾市襄汾县2019届九年级上期期中考试数学试题2020年辽宁省丹东市第七中学九年级下学期一模数学试题2021年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗九年级模拟考试(二模)数学试题山东省临沂市兰山区临沂第三十五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
真题
名校
5 . 如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时, ;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
(1)问题发现
① 当时, ;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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2019-01-30更新
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3169次组卷
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40卷引用:河北省石家庄市井陉县陉山中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
河北省石家庄市井陉县陉山中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2015年初中毕业升学考试(河南卷)数学2016届江苏省兴化顾庄学区三校九年级上学期第三次月考数学试卷2016届浙江省衢州市菁才中学九年级上学期期末考试数学试卷2016届浙江省衢州菁才中学九年级上学期期末考试数学试卷2016届山省济南商河县九年级第二次中考模拟考试数学试卷2016届山东济南历城区九年级二模数学试卷广西贵港市港南区2018年中考一模试卷数学试题(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题22 分类讨论(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题19 几何变换综合题【校级联考】河南省南阳市镇平县2019届九年级(上)期中数学试题天津市河北区红光中学 2019年中考模拟预测卷数学试题【区级联考】江苏省无锡市锡山区(锡北片)2019届九年级下学期期中考试数学试题【市级联考】湖北省枣阳市2019届中考适应性考试数学试题江苏省江都区国际学校2019届九年级下学期第三次模拟考试数学试题山东省东营市2019年中考数学试题天津市滨海新区2017-2018学年九年级上学期期末检测数学试题河南省南阳市2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题四川省巴中市巴中中学2018-2019学年九年级上学期期中数学试题2019年河南省南阳市九年级上学期第一次学业水平考试数学试题河南省洛阳市偃师市2019-2020学年九年级上学期上学期第一次大练习数学试题江西省南昌市第十九中学2020年九年级上学期第三次月考数学试题山东省德州市庆云县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题河南省周口市鹿邑县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(已下线)【万唯原创】2016年河南省中考数学-2015年真题-2015年河南省普通高中招生(已下线)【万唯原创】2016年份河南省中考数学研究专项-题型第一部分题型9(已下线)【万唯原创】2019年河南省中考数学面对面正文第四章三角形2(已下线)【万唯原创】2016年安徽省中考数学-试题研究-正文-第二部分拓展题型4+5(已下线)【万唯原创】2015年山西中考数学-面对面正文-第二部分 解答重难点题型6(已下线)【万唯原创】2015年山西中考-面对面正文-第二部分 解答重难点题型6(已下线)【万唯原创】2016年山西中考数学-试题研究-第二部分题型研究 8(已下线)类型二 与线段有关的问题-2021年《三步冲刺中考·数学》(陕西专用)之第2步大题夺高分河南省新乡市辉县市市城北初级中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题广东省深圳市光明区光明中学、李松蓢、百花实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷河南省西峡县城区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题河南省平顶山市卫东区第四十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题2024年山东省泰安市岱岳区中考一模数学试题2024年山东省菏泽市鄄城县中考二模数学试题
真题
6 . 阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.
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2019-01-30更新
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1214次组卷
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20卷引用:河北省承德市丰宁县2016-2017学年九年级(上)期末数学试卷
河北省承德市丰宁县2016-2017学年九年级(上)期末数学试卷2013年初中毕业升学考试(湖北咸宁卷)数学2014届北京市东城区初三第一学期期末统一测试数学试卷2014届北京市密云九年级上学期期末考试数学试卷2015届江苏省无锡市北塘区九年级上学期期中考试数学试卷2015届江苏省无锡市滨湖中学九年级上学期高效课堂调研数学试卷2015届江苏省张家港市九年级上学期期末考试数学试卷12015届江苏省张家港市九年级上学期期末考试数学试卷22016届江苏省无锡市江阴市马镇九年级上学期12月联考数学试卷2016届江苏省扬州市仪征三中九年级上学期11月月考数学试卷浙江省温州市龙湾区永中中学2016届九年级12月月考数学试题2017-2018学年山西省运城市垣曲县九年级(上)期末数学试卷浙江省绍兴市2018届九年级中考数学一模试卷【全国校级联考】辽宁省葫芦岛市第八高级中学2018届九年级下学期期中练习数学试题人教版九年级数学下册期末综合检测试卷1河南省南阳市新野县2019-2020学年九年级上学期期中数学试题四川省遂宁市蓬溪县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题北京市顺义区第八中学2022-2023学年九年级数学上学期期中试卷2023年湖北省荆州市中考模拟数学试卷2023年湖北省荆州市沙市区中考模拟数学试题(4月份)
真题
名校
7 . 【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
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2019-01-30更新
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2849次组卷
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28卷引用:2014届河北省初中毕业生结课小模拟考试数学试卷
2014届河北省初中毕业生结课小模拟考试数学试卷2013年初中毕业升学考试(浙江衢州卷)数学2014届福建省福鼎市第五中学九年级上学期第一次月考数学试卷2014届北京市怀柔九年级上学期期末考试数学试卷2015届福建省福鼎市十校教研联合体九年级上学期期中联考数学试卷2016届山东省青岛市市南区九年级上期中数学试卷河南省郑州市第二中学2017届九年级上学期期中考试数学试题河南省邓州市2018届九年级上学期期中质量评估---数学试题江苏省扬州市邵樊片2018届九年级下学期第一次月考数学试题2017-2018学年北京一零一中九年级(下)第三次月考数学试卷北师大版九年级上册数学第四章单元测试卷期末复习:人教版九年级数学下册 第27章 相似 单元检测试卷【校级联考】湖北省谷城县2019届九年级中考适应性考试数学试题2019年山东省东营胜利油田九年级上学期期中联考数学试题江苏省扬州市梅岭中学2018-2019学年九年级上学期期中数学试题山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题2020年辽宁省营口市中考三模数学试题(已下线)【万唯原创】2015年河南省中考数学2014年真题-郑州外国语学校2014年第一次月考试卷(已下线)【万唯原创】2015年河南省中考数学2014年真题-题型五(已下线)【万唯原创】2016年份河南省中考数学金六套-猜题卷1(已下线)【万唯原创】2017年河南省中考数学试题研究专项-数学题型专项训练题型92021年山东省东营市垦利区中考二模数学试题山东省青岛市青岛第二十六中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题2022年山东省东营市垦利区中考一模数学试题(已下线)期末复习(压轴60题26考点)-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练(人教版)2023年贵州省铜仁市第三中学中考数学三模模拟试题2023年山东省济南市中考数学模拟预测试题(二)2023年山东省东营市九年级数学中考复习考前适应性综合模拟预测题
2018九年级·全国·专题练习
名校
8 . 问题背景:已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A,B重合),DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N,记△ADM的面积为S1,△BND的面积为S2.
(1)初步尝试:如图①,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2时,则S1S2= ;
(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置,求S1S2的值;
(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.
(Ⅰ)如图③,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示).
(Ⅱ)如图④,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1S2的表达式,不必写出解答过程.
(1)初步尝试:如图①,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2时,则S1S2= ;
(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置,求S1S2的值;
(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.
(Ⅰ)如图③,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示).
(Ⅱ)如图④,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1S2的表达式,不必写出解答过程.
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2018-02-18更新
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678次组卷
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6卷引用:河北省唐山市路南区第九中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷
河北省唐山市路南区第九中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷(已下线)2年中考1年模拟 第七篇 专题复习篇 专题39 变式猜想问题(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题21 线面运动问题(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题19 几何变换综合题河南省平顶山市郏县2019-2020学年九年级下学期期中考试数学试题2021年江苏省盐城市东台市第五教育联盟中考数学第一次质检试卷
真题
9 . 理解:数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:思路一 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===.
思路四 …
请解决下列问题(上述思路仅供参考).
(1)类比:求出tan75°的值;
(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;
(3)拓展:如图3,直线与双曲线交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.
思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===.
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…思路四 …
请解决下列问题(上述思路仅供参考).
(1)类比:求出tan75°的值;
(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;
(3)拓展:如图3,直线与双曲线交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.
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2016-12-06更新
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2834次组卷
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5卷引用:河北省保定市博野县2018年程委中学中考数学模拟试卷
河北省保定市博野县2018年程委中学中考数学模拟试卷2015年初中毕业升学考试(福建漳州卷)数学(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题29 新定义和阅读理解型问题(已下线)专题02 构造新图或用公式求函数值-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练(浙教版)(已下线)数学-2024年中考考前最后一课(11)
10 . 问题引入:如图,在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,求:
尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有,,.
类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明.
拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求的值.
尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有,,.
类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明.
拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求的值.
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