1 . 如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．

(1)【观察猜想】
将绕点A逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点E时：的值为________；的度数为___________度；
(2)【类比探究】
如图3，继续旋转，连接，，设的延长线交于点F，请求出的值以及的度数；
(3)拓展延伸：若，，当C、A、D三点在同一直线上时，请直接写出线段的长．

3 . 操作与探究，如图1，将等腰直角三角形的边绕点顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交延长线于点．

（1）在图1中，易知与全等，则的面积为______，______；
拓展与延伸
（2）如图2，若为任意直角三角形，，、、分别用、、表示．将边绕点顺时针旋转，得到，过点作，交延长线于点；

①判断与是否全等，并说明理由；
②求的值；（用，，表示）
（3）如图3，在中，，，，，，连接．

①的面积为______；
②点是边的高上的一点，当______时，有最小值为______．

4 . 动手操作
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的敌学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形ABC的AB边绕点B顺时针旋转90得到线段A′B，∠ACB＝90°，AC＝1，连接A′C，过点A′做A′H⊥CB交CB延长线于点H．
思考探索
（1）在图1中：易知△ABC与△A′BH全等．
①△A′BC的面积为 　　；
②sin∠A′BH＝　　；
拓展延伸
（2）如图2．若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC、AC、AB分别用a、b、c表示AB边绕点B顺时针旋转90°，得到A′B，过点A′作A′H′⊥BC，交BC延长线于点H′；
①△ABC与△A′BH′全等吗？并说明理由：
②sin∠A′BH′＝　　（用a，b，c表示）
（3）如图3，在△ABC，AB＝AC，AB⊥A′B，AB＝10，BC＝12，A′B＝5，连接A′C
①△ABC的面积为 　　
②点D是BC边的高上的一点，当AD＝　　时，A′D+DB有最小值 　　

5 . 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．

（1）探索发现：
图1中，的值为        ，的值为        ．
（2）拓展探究
若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长．

6 . 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
　
（1）问题发现
①当时，____________；②当时，___________．
（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，直接写出线段的长．

7 . （1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．
填空：①则的值为______；②∠EAD的度数为_______．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

8 . 几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．

9 . （1）问题发现
   
如图1，在中，，，点在线段上运动（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接．填空：线段和的数量关系为______，位置关系为______；
（2）探究证明
如图2，在（1）的条件下，若点在线段的延长线上运动，请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在锐角中，，，，若点在线段上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，过点作交于点．请求出线段取得最大值时的面积．

10 . 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，的坐标分别为，．点是线段上的一个动点（点与点，不重合），直线过点并与折线交于点，设的面积为，回答下列问题：

探究：（1）当直线过点时，的值是________；
延伸：（2）如图2，当点在线段上时，矩形关于直线对称的图形为矩形，线段与线段交于点，线段与线段交于点，得到菱形．
直接写出：菱形面积的最大值是：________，此时________；
拓展：（3）在点运动的过程中，①直接写出与的函数关系式；
②当________时，（2）中菱形的面积与相等．