1 . 在矩形中，，，将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，A，C，D的对应点分别为，，．

(1)当点落在线段上时，完成以下探究．
①如图1，求的长．
②如图2，延长交于点E，求证：．
(2)如图3，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，，交于点G，交于点H，若，求的长．
(3)如图4，矩形的对角线与相交于点P，连接，，则面积的最小值为___．

2 . 如图1，将一个边长为2的正方形和一个长为2，宽为1的矩形拼在一起，构成一个大的矩形现将小矩形绕点C顺时针旋转至，旋转角度为，设直线交直线于点M，直线交直线于点N．

(1)如图2，当点恰好落在边上时，求旋转角的值；
(2)在旋转过程中，与能否全等？若能，请直接写出满足条件的旋转角的值；若不能，请简要说明理由．
(3)通过探究发现，随着旋转角的变化，虽然与的长度也在变化，但是或的值是一个定值，请判断哪个值为定值？并以图1或图3为例，求出这个定值．

7 . 嘉淇做数学探究实验，示意图如下：，，，均为直角三角形，其中，，，，，．

第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上；
第二步，如图2，将绕点O逆时针方向旋转，，与边分别交于点，；
第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点在上；
第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，当点与点重合时停止运动．
(1)如图2，当时，∠______；
(2)如图2，嘉淇发现的值为定值，请求出值；
(3)如图3，从初始位置到点落在CE上，求的度数及线段的长；
(4)如图4，当点落在上时，直接写出点平移的距离．

8 . 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．
解：

∵无论x取何实数，总有．
∴，即无论x取何实数，有最小值，是．
(1)问题：已知，试求y的最值．
(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，

探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）
(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）

9 . 综合实践
问题情境
在图所示的直角三角形纸片中，是斜边的中点．数学老师让同学们将绕中点做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．

解决问题
（1）“实践小组”的同学们将以点为中心按逆时针旋转，当点的对应点与重合时，与它的对应边交于点．他们发现：．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图的基础上，“实践小组”的同学们继续将以点为中心进行逆时针旋转，当的对应边时，设与交于点，与交于点．他们认为．他们的认识是否正确？请说明理由．
再探发现
（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图中连接，他们认为，与也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）