1 . 问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．

（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．
小王同学发现可以由以下两种思路解决问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．

2 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为     ；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

3 . 如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
计算：求BC的长；
操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．如图14-2,当点C₁在线段CA的延长线上时．
（1）证明：A₁C₁⊥CC₁；
（2）求四边形A₁BCC₁的面积；

探究：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．连结AA₁,CC₁，如图14-3．若△ABA₁的面积为5,求点C到BC₁的距离；
拓展：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P₁,如图14-4．
（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP₁长度的最大值与最小值；
（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

4 . （1）【问题发现】

如图1，在中，，，点D为的中点，以为一边作正方形，点E与点A重合，易知，则线段与的数量关系是________；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点B旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
（3）【结论运用】
在（1）（2）的条件下，若的面积为8时，当正方形旋转到C、E、F三点共线时，请直接写出线段的长．

5 . 【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；

【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．

6 . 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：；
(1)在图1中，当点为中点时，求证：；
【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．

(2)求证：；
(3)若，，求线段长．

8 . 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

10 . 问题背景】如图1，中，，中，，且，求证：；
       
【变式迁移】如图（2），中，，，点D为内一点，将点A绕点D顺时针旋转得到，连接，求的值；
   
【拓展创新】如图（3），中，，，点D为外一点，，连接CD，求线段之间的数量关系．（用含的式子表示）