1 . 【基础巩固】
（1）如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点为上一点，连结，，，若，求的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，对角线交于点为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长．

2 . 【问题背景】

（1）如图1，已知，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，，求的值；
【拓展创新】
（3）如图3，D是内一点，，，，，请求出的长．

3 . 【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．

5 . 【基础巩固】（）如图，在与中，，连接，求证：；

【尝试应用】（）如图，在与中，，连接三点在一条直线上，与交于点；
求的大小；
若且，求的面积：
【拓展提高】（）如图，在与中，，点为的中点，交于点，连接，若，且为，求的长．

6 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
   
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
(1)思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
(2)类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
(3)联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
(4)思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．

7 . 问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值．

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为      ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值．

8 . 【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．

【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：．
【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由．

10 . 【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，．点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在，是上一点，连结，点，分别在、上，连结，CE，，若，，，，，求的值．