1 . 如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若，，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．

2 . 如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）若
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

3 . 如图1，已知三角形纸片△ABC和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC≌△DEF．数学实验课上，张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作：
(1)【操作探究1】保持△ABC不动，将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置，通过度量发现BE：CE＝1：2，则S_△CGE：S_△CAB＝　 　；
(2)【操作探究2】保持△ABC不动，将△DEF通过一次全等变换(平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程．
(3)【操作探究3】将两个三角形按图3所示放置：点C与点F重合，AB∥DE．保持△ABC不动，将△DEF沿射线DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，设△DEF平移的距离为m．
①当m＝0时，连接AD、BE，判断四边形ABED的形状并说明理由；
②在平移的过程中，四边形ABED能否成为正方形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

4 . 如图①，在矩形ABCD中，，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，延长BC交HG于点M，延长DC交FG于点N．
   
（1）试判断EM与HN的数量关系，并给予证明；
（2）如图②，将图①的正方形EFGH绕点D逆时针旋转，DE交BC于点L，延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N，试探究DL、EN、GM之间满足的等量关系；
（3）如图③，将图①的正方形EFGH绕点D逆时针旋转，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L，连接BE．求BE的长．

5 . 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证： ；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．

6 . 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．

（2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值．

7 . 如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置．

8 . 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．
（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证；

（2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．

10 . 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．