1 . 【基础巩固】
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，．点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在，是上一点，连结，点，分别在、上，连结，CE，，若，，，，，求的值．
   

4 . 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容．如图，是矩形的边上的一点，于点，

证明，并计算点到直线的距离．结合图，完成解答过程．
【拓展应用】
（1）在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，则的长为______；
（2）如图③，、是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，则的长为______

5 . （1）【感悟】如图①，把直角三角板的直角顶点放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、，连接，则线段为圆形玻璃镜的直径．此操作体现的数学道理是：______．
（2）【应用】
如图②，、、三点在上且，过点作垂直的切线于点，若，．求的长．
（3）【拓展】
如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰，点为的中点，连接，请直接写出的度数．

6 . （1）特殊发现：
如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：
①______；
②直线与直线所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

   

8 . 【操作发现】（1）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．如果将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连结，此时___________；
【问题解决】（2）在某次数学兴趣小组活动中，小宇和同学遇到了如下问题：如图②，在等边中，点P在内部，且，．求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】（3）如图③，在等边中，，点P在内，，．求的面积；
【思维拓展】（4）如图④，在四边形中，，垂足为E，，，，（k为常数），请直接写出的长（用含k的式子表示）．

9 . 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．


【定理证明】结合图①，“角平分线的性质定理”证明过程中．运用了与全等，全等最直接的依据是
【定理感知】如果教材中的已知条件不变，如图①，当，时，则面积为 ．
【定理应用】如图②，在中，平分交于点D．求证：
【拓展应用】如图③，在中，，，，将先沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的的面积为 ．

10 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点． 根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明

(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是的中点，则______．
(3)【拓展提升】在中，，点E是的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为点F，连接，若，则______．