1 . 【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度．
【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：．
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，，∴四边形是正方形．
∵，∴．
∵四边形是正方形，∴，
∴，即．
∵，，∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________．

4 . 【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：

如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．

小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：

解：如图①，过点作交于，则，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的一个三等分点，且，
∴，
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．
【拓展提高】
如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______．

9 . 【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在中，点是边的三等分点，，，求的长．
   
【应用拓展】
（1）如图①，在中，点是边的中点，点为延长线上一点，连接交于点，若，，，则的长为 　 　．
（2）如图②，在中，点为边延长线上一点，点为上一点，连接交于点，若点为的中点，，的面积为4，则（阴影部分）面积为       ．