2 . 感知：如图①，在四边形中，，，点P在边上，当时，与是否相似？______（填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形中，点P在边上，当时，求证：．
拓展：如图③，在中，点P是边的中点，点D、E分别在边、上．若，，，则的长为______．

4 . 【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，．

（1）求证：．
（2）若、的面积分别为和，则的值为______．
【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______．

5 . 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．

如图，在正方形中，．求证：． 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴．

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．

【问题探究】
如图1，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．则______．
【拓展应用】
如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．直接写出的值．

6 . 【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求证：M是CD的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．

8 . 问题探究：如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D为线段AB上一动点，连接BE．

（1）求证：△ADC∽△BEC．
（2）求证：∠DBE=90°．
拓展延伸：把问题探究中的“点D为线段AB上一动点”改为“点D为直线AB上一动点”，其他条件不变，若点M为DE的中点，连接BM，且有AD=1，AB=4，请直接写出BM的长度．

9 . 感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？     （填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，则 DE 的长为     ．

10 . 【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．