1 . 体验：如图
，在四边形
中，
，
，点
在
边上，当
时，可知
______ 
不要求证明
．
探究：如图
，在四边形中，点在上，当
时，求证：∽
．
拓展：如图
，在
中，点是边的中点，点
、
分别在边
、
上，若
，
，
，求
的长．
，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．探究：如图
，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．拓展：如图
，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
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2023-11-24更新
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60次组卷
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7卷引用：吉林省长春市第八十九中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
2 . 已知和
均为等腰三角形，
，
，
，点
、
分别为、的中点，连接
、
、
、
．
【猜想】如图①，当点在上时，线段和的大小关系是______；
【探究】如图②，把绕着点
旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？说明理由；
【拓展】如图③，和均为直角三角形，，且
，
，
，点、分别为、的中点，连接、，当
时，
的面积是______．
和均为等腰三角形，，，，点、分别为、的中点，连接、、、．【猜想】如图①，当点
在上时，线段和的大小关系是______；【探究】如图②，把
绕着点旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？说明理由；【拓展】如图③，
和均为直角三角形，，且，，，点、分别为、的中点，连接、，当时，的面积是______．
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3 . 【学习心得】请你完成下列证明：如图①，和
均为等边三角形，点D在边上，连接
．求证：
．
【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，
，点D在边上．若
，
，则的长为______．
【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线与交于点O，在
中，
，点E、F分别在边、上，点P在线段上．若
，则
______．
和均为等边三角形，点D在边上，连接．求证：．【类比探究】如图②，
和均为等腰直角三角形，，点D在边上．若，，则的长为______．【拓展延伸】如图③，在正方形
中，对角线与交于点O，在中，，点E、F分别在边、上，点P在线段上．若，则______．
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2023-04-26更新
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301次组卷
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4卷引用：2023年吉林省长春市汽开区中考一模数学试题
名校
4 . 【问题提出】如图①，在正方形中，点
分别在边
上，
．请判断
与
的数量关系，并说明理由．
【类比探究】如图②，在矩形中，
，将矩形沿折叠，使点
落在边上的点处，得到四边形
交
于点
，连接交于点
．则与之间的数量关系为 ．
【拓展应用】在（2）的条件下，若
，
，则的长为 ．
中，点分别在边上，．请判断与的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形
中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．则与之间的数量关系为 ．【拓展应用】在（2）的条件下，若
，，则的长为 ．
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2023-09-27更新
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320次组卷
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3卷引用：2023年吉林省长春吉林大学附属中学九年级下学期中考四模数学试题
5 . 【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点
重合），点在边上，且
．连结并延长至点
，使
，连结
．求证：
．
【拓展探究】如图②，在中，
，点是边的中点，点在边上，过点作
交边于点，连结
．若
，
，则的长为__________．
中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：．【拓展探究】如图②，在
中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________．
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真题
名校
6 . 综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，
于点F，
，
，
．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，
于点H，交
于点G，可以用等式表示线段
，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在
上，且
，连接
，
，可以用等式表示线段
，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边
上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形
中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形
中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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2023-06-30更新
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2711次组卷
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23卷引用：2024年吉林省初中学业水平考试数学模拟预测题
2024年吉林省初中学业水平考试数学模拟预测题2023年甘肃省兰州市中考数学真题辽宁省丹东市第五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题31 几何综合压轴题（共23道）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题甘肃省兰州市第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题甘肃省兰州市七里河区第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2024年辽宁省沈阳市中考一模考前数学模拟预测题（一）陕西省宝鸡市新建路中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题湖北省黄石市第八中学教联体2023-2024学年九年级下学期月考数学试题湖北省黄冈市红安县2023-2024学年九年级下学期月考数学试题2024年山东省枣庄市峄城区中考一模数学模拟试题2024年辽宁省沈阳市和平区数学零模后模拟预测题山东省聊城市聊城文轩初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题山东省泰安市宁阳县第三中学（五四制）2023-2024学年九年级中考一模数学试题2024年江苏省盐城市东台市第二教育联盟中考模拟考试一模数学试题（已下线）突破05 平移、旋转、折叠等操作探究问题（4类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）专题11 四边形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学三模试题2024年甘肃省定西市安定区城区学校联考九年级中考三模数学试题2024年广东省深圳市深圳大学附属中学中考三模数学试题2024年广东省云浮市郁南县九年级中考二模数学试题2024年广东省深圳市罗湖区未来学校中考模拟数学试题
7 . 【基础探究】如图1，四边形中，
，为对角线，
．
(1)求证：平分
(2)若
，
，则
______．
(3)【应用拓展】如图2．四边形中，
，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若
，
，请直接写出
的值．
中，，为对角线，．(1)求证：
平分(2)若
，，则______．(3)【应用拓展】如图2．四边形
中，，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若，，请直接写出的值．
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8 . 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：中，
，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰
，使
，连接
．易证：
；（不需要证明）
(2)类比探究：如图2，在等腰中，
，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使
，连接．
①求证：
；
②在点运动过程中，若
，
，请直接写出
的最小值 ；
(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形
，是正方形的中心，连接
．若正方形的边长为6，
，则
．
中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，连接．易证：；（不需要证明）(2)类比探究：如图2，在等腰
中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．①求证：
；②在点
运动过程中，若，，请直接写出的最小值 ；(3)拓展应用：如图3，在正方形
中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，则 ．
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9 . 【问题提出】如图①，在正方形中，、
分别是边和对角线上的点，
，从而
，
______．中，
，
，、分别是边
和对角线上的点，
，若
，求
的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形中，
，对角线
，
交的延长线于点，、分别是菱形高和对角线上的点，
，
，直接写出
的长．
中，、分别是边和对角线上的点，，从而，______．
中，，，、分别是边和对角线上的点，，若，求的长．【拓展延伸】如图③，在菱形
中，，对角线，交的延长线于点，、分别是菱形高和对角线上的点，，，直接写出的长．
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10 . 【初步感知】如图①，和都是等边三角形，连结，
．易知：
（不用证朋）；
【深入探究】如图②，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中
，
，连结、．
(1)求
的值；
(2)延长交于点，交于点
，则
______°；
(3)【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且
，连结，．延长交于点，交于点，若
，则______．（用含
的式子表示）
和都是等边三角形，连结，．易知：（不用证朋）； 【深入探究】如图②，
和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．(1)求
的值；(2)延长
交于点，交于点，则______°；(3)【拓展提升】如图③，
和都是直角三角形，，且，连结，．延长交于点，交于点，若，则______．（用含的式子表示）
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