1 . 探究：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，BC＝3，求的值.
应用：如图②，在△ABC中，BF是△ABC的外角的平分线，交AC的延长线于点F，AB＝5，BC＝3，则＝______.

2 . [感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明）
[探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），
（1）求证：△DAP∽△PBC.
（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长.

[应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长.

3 . 问题原型：如图①，在等腰直角三角形中，，，中点为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，过点作边上的高，易证，从而得到的面积为．

   
初步探究：如图②，在中，，，中点为．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．用含的代数式表示的面积，并说明理由．

   
简单应用：如图③，在等腰三角形中，，，中点为．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，直接写出的面积．(用含的代数式表示)

   

4 . 【阅读】如图①，是等边三角形，将直角三角板的角顶点放在边上（点不与点、重合），使两边分别交边、于点、．进而可证：．
小明的做法是，先证，再证，可证得∽．

【探究】如图②，将等边三角形沿折痕折叠，使点的对称点落在边上（点不与点、重合），求证：∽．
【应用】若图②中的，，直接写出的值．

5 . 在中，，是边上的中线，点在射线上.
猜想:如图①，点在边上， ，与相交于点，过点作，交的延长线于点，则的值为     .
探究:如图②，点在的延长线上，与的延长线交于点， ，求的值.
应用:在探究的条件下，若，，则          .

6 . 探究：如图①，直线l₁∥l₂∥l₃，点C在l₂上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l₁与l₃于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l₁于点D，延长DC交l₃于点E．
（1）求证：△ACD∽△CBE．
（2）应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l₂的交点为F，若AC＝BC，l₁与l₂之间的距离为2，l₂与l₃之间的距离为1，则AF的长度是　 　．
　

7 . 在矩形中，，，点在边上，且．

探究：如图①，点在矩形的边上，连结，过点作，交边于点．求证：．
应用：如图②，若图①的交边于点．其它条件不变，连结，则的值为            ，若的面积是．则的长为          

8 . 探究：
某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在中，点在线段上， ， ， ，．求的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，连结，如图②所示，通过构造就可以解决问题．
请你写出求、的度数和求长的过程．
应用：
如图③，在四边形中，对角线与相交于点， ， ，．若，则的长为         ， 的长为          ．

9 . 【感知】如图①，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．易证：（不要求证明）．
【探究】如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【应用】如图③，在中，，，点在边上（点不与点、重合），连结，作，与边交于点．当时，求的长．

10 . 探究：如图①，直线，点在上，以点为直角顶点作，角的两边分别交于于点、，连结.过点作于点，延长交于点.
求证：.
应用：如图②，在图1的基础上，设与的交点为，若，与之间的距离为2，与之间的距离为1，求的长度.