1 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．

2 . 问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．
   
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值；
问题拓展
如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值．

3 . 【操作与发现】
如图①，在正方形中，点N，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，从而可得：．

(1)【实践探究】在图①条件下，若，，则正方形的边长是___________．
(2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边、上，，若，求证：M是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形，，，点M、N分别在边、上，连接、，，则的长是 ___________．

5 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

7 . 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．

（1）操作发现 ：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，
①_________，
②设，则_________（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中，，则菱形较长对角线的长_________．

8 . 【性质探究】
如图，在矩形中，对角线，相交于点O，平分，交于点E．作于点H，分别交，于点F，G．
（1）直接写________（填图中一条线段）
（2）求证：．
【迁移应用】
（3）记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若交射线于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接，当的面积为矩形面积的时，请直接写出的值．
   

10 . 过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接.将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．

(1)【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形中，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论；
(2)【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求线段扫过的面积；
(3)【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．