1 . 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

   

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

       

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

   

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

   

3 . 二次函数（为常数，且）的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，过点且平行于轴的直线与轴交于点，与直线交于点，连接，交直线于点．
(1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；
(3)若点为二次函数（为常数，且）位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标．

4 . 某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．
一、收集资料，阅读理解
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．

黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
二、动手操作，直观感知
任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形．

①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；
②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号）
三、探究延伸，灵活运用
任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示）
任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号）

请结合上述材料，解决下面问题：
(1)补全任务一①、②所缺的内容；
(2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示）
(3)完成任务三问题的解答．

5 . 如图，，已知直线上的两点于点B

(1)如图1，若，过点C作，与直线交于点E
①判断线段满足的数量关系，并说明理由；
②若，求的长．
(2)如图2，若，试探究线段之间的数量关系．

6 . 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1   国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1   检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．

素材2   图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2   当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3   如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3   若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．

7 . 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：

题目	测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据	，，

如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识      ；（写出一个即可）
(3)任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．

8 . 已知，，．

   

探究一：如图（1），点D在上（点D不与点B，C重合），且．
①连接，当时， ______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接，设为最大值为a，的最小值为b，则______．
③如图（2），若把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接交于点F，求的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段绕点A逆时针旋转得线段，再把线段逆时针旋转得线段交于点P，与的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q．