1 . （1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

2 . 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是     ，CG和EH的数量关系是     ，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是     （用含a，b的代数式表示）．

3 . 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===．

思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===．

思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四   …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
(1)类比：求出tan75°的值；
(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
(3)拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

4 . 若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．

(1)模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：；
(2)特殊应用：若∠BAC=90°，==2，求的值；
(3)拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断与的大小，并说明理由．

5 . 阅读材料：如图（1），在中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）

(1)【理解与应用】
如图（2），正方形的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．

6 . [基础巩固]（1）如图，在中，，，分别为，，上的点，，交于点．若，求证：．

[尝试应用]（2）如图，在等边中，，，分别为，，上的点，，分别交，于，两点．若，，求的值．

[拓展提高]（3）如图，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，直接写出的长．

7 . 【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长．

9 . 若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
       
(1)知识理解：
如图①，与互为“旋转位似图形”．
①若，，，则        ；
②若，，，则        ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．