名校
1 . （1）证明推断如图1，在
中，
，
，
是
边上的高，点E是边上一点，连接
，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．
①求证：
；
②
的值为________；
（2）类比探究如图2，在中，，
，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用在（2）的条件下，连接
，当
，
平分
时，若
，求的长．
中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．①求证：
；②
的值为________；（2）类比探究如图2，在
中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）的条件下，连接
，当，平分时，若，求的长．
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2023-09-20更新
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183次组卷
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9卷引用：福建省福州十八中2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
福建省福州十八中2022-2023学年九年级下学期期中数学试题福建省福州第十八中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题福建省福州第十八中学2022-2023学年九年级下学期月考数学试题2022年湖北省襄阳市老河口市中考适应性考试数学试题（已下线）2023年湖北省中考数学真题变式题21-24题（已下线）2023年湖南省益阳市中考数学真题变式题23-26题（已下线）2024年广西桂林市第十八中学九年级下学期中考一模数学模拟试题湖北省武汉一初慧泉中2023--2024学年九年级下学期月考数学试题2024年广西壮族自治区钦州市共美学校九年级中考三模数学试题
名校
2 . 解答
(1)问题发现：如图1，在
和
中，
，
，点
是线段上一动点，连接
．填空：
①
的值为______ ；
②
的度数为______ ．
(2)类比探究：如图2，在和中，，
，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段
的中点
，连接
、
，若
，则当
是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
(1)问题发现：如图1，在
和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：①
的值为②
的度数为(2)类比探究：如图2，在
和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点
改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
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2023-05-09更新
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194次组卷
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21卷引用：福建省三明市永安市2022~2023学年九年级上学期期中考试卷
福建省三明市永安市2022~2023学年九年级上学期期中考试卷吉林省市命题七十七2019-2020学年九年级上学期期中数学试题2020年河南省中考模拟数学试题（一）（已下线）专题冲刺小卷12 几何综合问题-2020年《三步冲刺中考·数学》之最新模考分类冲刺小卷(河南专用)2020年山东省东营市东营区中考数学6月模拟试题2020年山东省东营市东营区九年级6月学业模拟考试数学试题2020年山东省广饶县初中学业水平模拟考试数学试题河南省周口市太康县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题2021年河南郑州外国语中学原创押题卷（B卷) 数学试题（已下线）【万唯原创】2021年河南试题研究-练习册-第四章 三角形5河南省郑州市外国语中学2019-2020学年九年级上学期第二次月考数学试题2022年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题河南省新乡市卫辉市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题河南省郑州市金水区经纬中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷（一模） 安徽省亳州市2022--2023学年九年级上学期期末数学试卷山东省东营市东营区文华学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）2023年河南省洛阳市偃师市中考数学一模试题变式题21-23题2023年山东省东营市垦利区中考二模数学试题江西省抚州市八校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题江苏省宿迁市沭阳县怀文中学、人民路中学2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题2024年山东省泰安市岱岳区中考三模数学试题
3 . 【教材呈现】下面内容是华师版八下第75页练习2
如图①，如果直线
//
，那么的面积和
的面积是相等的．
请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在中，点D、E分别在边AB、AC上，//
，
，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：
．
【拓展应用】如图③，在中，D、E分别在边AB、AC上．
，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G．点M、N在线段BC上，且
，
．若
，则
______．
如图①，如果直线
//，那么的面积和的面积是相等的．请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在
中，点D、E分别在边AB、AC上，//，，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：．【拓展应用】如图③，在
中，D、E分别在边AB、AC上．，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G．点M、N在线段BC上，且，．若，则______．
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2022-01-06更新
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239次组卷
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3卷引用：福建省泉州市南安市柳城教研片区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
真题
名校
4 . 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
如图1，在中，
，
．折叠，使边落在边
上，点
的对应点是点
，折痕交
于点，连接，
，则
_______
，设
，
，那么
______（用含
的式子表示）；
（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形
中，
，
．求这个菱形较长对角线的长．
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
如图1，在
中，，．
折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的
是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．
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2023-07-25更新
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1827次组卷
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17卷引用：福建省宁德市霞浦县福宁学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
福建省宁德市霞浦县福宁学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题2023年宁夏回族自治区中考数学真题2023年广东省深圳市龙岗区翠枫学校中考一模数学试题2023年广东省深圳市龙岗区爱华学校中考一模数学试题2023年广东省深圳市龙岗区惠华学校中考一模数学试题（已下线）2023年深圳东莞一模(几何综合)山东省济南市高新区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（已下线）专题31 几何综合压轴题（共23道）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）第5讲 探究题（已下线）第8讲 综合实践题宁夏回族自治区银川市兴庆区银川二中北塔分校2023-2024学年九年级上学期月考2数学试题2024年安徽省芜湖市中考一模数学试题广西南宁市青秀区北大南宁附属实验学校2023-2024年九年级下学期3月数学月考试题2024年安徽省芜湖市毕业暨升学模拟考试数学试卷2024年山东省菏泽市郓城县一模数学模拟试题（已下线）突破05 平移、旋转、折叠等操作探究问题（4类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）2024年广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学中考模拟考试数学试题
真题
名校
5 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，
是等腰三角形，
，
交于点
，探究
与
的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若
，求
的值．
是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求
与的数量关系．问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若，求的值．
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2023-06-23更新
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3165次组卷
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17卷引用：福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考（开学考试）数学试题
福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考（开学考试）数学试题2023年湖北省武汉市数学真题（已下线）专题13 解三角形与三角形全等-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题32图形的相似（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】（已下线）2023年湖北省中考数学真题变式题21-24题江苏省苏州市苏州工业园区东沙湖实验中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题四川省达州市达川第四中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题23-相似三角形28.2.1解直角三角形（已下线）第5讲 探究题2024年湖北省中考一模数学试题（已下线）重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（11大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）2024年山东省临沂市莒南县中考数学二模试题（已下线）专题10 三角形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试题（已下线）题型02 相似三角形的应用-22024年宁夏回族自治区石嘴山市惠农区中考模拟数学试题
名校
6 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77﹣78页部分内容：
如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE
BC，且DE＝
BC．
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE
△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
，
∴DEBC，且DE＝BC．
(1)【探究】如图2，△ABC中，点D、F分别为边AB、AC的中点，点G、E在边BC上．若DGFE，求证：S四边形DFEG＝S△ABC．
(2)【应用】如图3，△ABC中，点E、F分别为边AB、AC的中点，D在线段AB上（不与点A、B重合），点H、G分别为线段DB、DC的中点，若S△ADC＝5，则S四边形EFGH＝ ．
(3)【拓展提升】如图4，在△ABC中，D、E分别在边BA、BC上．
，在线段DE上取一点F，（点F不与点D、E重合），连接BF并延长BF交AC于点G．点M、N在线段AC上，且AM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝25，求S△FAM+S△ENC的值．
如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE
BC，且DE＝BC．结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
，∵∠A＝∠A，
∴△ADE
△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，
，∴DE
BC，且DE＝BC．图1
图2 图3 图4
(1)【探究】如图2，△ABC中，点D、F分别为边AB、AC的中点，点G、E在边BC上．若DG
FE，求证：S四边形DFEG＝S△ABC．(2)【应用】如图3，△ABC中，点E、F分别为边AB、AC的中点，D在线段AB上（不与点A、B重合），点H、G分别为线段DB、DC的中点，若S△ADC＝5，则S四边形EFGH＝ ．
(3)【拓展提升】如图4，在△ABC中，D、E分别在边BA、BC上．
，在线段DE上取一点F，（点F不与点D、E重合），连接BF并延长BF交AC于点G．点M、N在线段AC上，且AM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝25，求S△FAM+S△ENC的值．
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真题
名校
7 . 问题背景：
如图1，在矩形中，
，
，点是边的中点，过点作
交
于点
．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的
绕点
按逆时针方向旋转
，如图2所示，得到结论：①
_____；②直线
与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则
的面积为______．
如图1，在矩形
中，，，点是边的中点，过点作交于点．实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的
绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将
绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：
在以上探究中，当
旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
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2021-09-09更新
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3797次组卷
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21卷引用：福建省泉州市第六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
福建省泉州市第六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题2021年山东省日照市中考真题数学试卷（已下线）专题10类比、拓展探究题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）山西省实验中学2021-2022学年九年级上学期第三次阶段测评数学试题（已下线）专题20 以四边形为载体的几何综合探究问题（已下线）专题35 几何图形翻折与旋转【热点专题】（已下线）专题08 图形的变换-2022年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2022年湖北省宜城市中考适应性考试（一模）数学试题2022年河北省邢台市新河县中考二模数学试题（已下线）考点18 特殊平行四边形-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)2022年内蒙古赤峰元宝山区九年级中考一模数学模拟试题（已下线）专题4.54 《图形的相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题吉林省长春市朝阳区长春南湖实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次质量检测数学试题（已下线）专题27.49 《相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）2023年河北省沧州市孟村回族自治县王史中学中考一模数学试题（已下线）专题6.52 《图形的相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）2023年湖北省黄冈市部分学校中考模拟数学试题（二）（已下线）专题14四边形解答题（精选32道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】辽宁省新民市实验中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（已下线）2022年河北中考数学二模几何综合题
解题方法
8 . 【模型构建】如图所示，在边长为1的正方形中，
的顶点，分别在，上（可与点
，，重合），且满足
．的高线
交线段
于点（可与，重合），设
．
（1）求
的值．
【模型拓展】在【模型构建】的基础上，将条件“边长为1的正方形”改为“长
、宽
的矩形”（其他条件不变）．
（2）判断的值是否改变．若改变，请求出的取值范围；若不改变，请证明．
【深入探究】在【模型构建】的基础上，设的面积为
．
（3）①求的最小值；
②当取到最小值时，直接写出与
的数量关系．
中，的顶点，分别在，上（可与点，，重合），且满足．的高线交线段于点（可与，重合），设．（1）求
的值．【模型拓展】在【模型构建】的基础上，将条件“边长为1的正方形
”改为“长、宽的矩形”（其他条件不变）．（2）判断
的值是否改变．若改变，请求出的取值范围；若不改变，请证明．【深入探究】在【模型构建】的基础上，设
的面积为．（3）①求
的最小值；②当
取到最小值时，直接写出与的数量关系．
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解题方法
9 . 【基础探究】（1）如图①，在中，为上一点，
，
交延长线于点，若
，求的长．
【拓展延伸】（2）如图②，在中，为上一点，
，交延长线于点，
，
，
，则
．
【拓展延伸】（3）如图③，点
为四边形内部一点，且有
，
，
于点，为
上一点，
，若
，
，则
的面积为 ．
中，为上一点，，交延长线于点，若，求的长．【拓展延伸】（2）如图②，在
中，为上一点，，交延长线于点，，， ，则 ．【拓展延伸】（3）如图③，点
为四边形内部一点，且有，，于点，为上一点，，若，，则的面积为 ．
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2022-06-13更新
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238次组卷
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2卷引用：福建省泉州市永春第二中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题
10 . 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）直接写出BF与OG的数量关系．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当
时，求
的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的
时，请直接写出
的值．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）直接写出BF与OG的数量关系．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当
时，求的值．【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的
时，请直接写出的值．
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