解题方法
1 . 【模型构建】如图所示,在边长为1的正方形中,的顶点,分别在,上(可与点,,重合),且满足.的高线交线段于点(可与,重合),设.
(1)求的值.
【模型拓展】在【模型构建】的基础上,将条件“边长为1的正方形”改为“长、宽的矩形”(其他条件不变).
(2)判断的值是否改变.若改变,请求出的取值范围;若不改变,请证明.
【深入探究】在【模型构建】的基础上,设的面积为.
(3)①求的最小值;
②当取到最小值时,直接写出与的数量关系.
(1)求的值.
【模型拓展】在【模型构建】的基础上,将条件“边长为1的正方形”改为“长、宽的矩形”(其他条件不变).
(2)判断的值是否改变.若改变,请求出的取值范围;若不改变,请证明.
【深入探究】在【模型构建】的基础上,设的面积为.
(3)①求的最小值;
②当取到最小值时,直接写出与的数量关系.
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2 . 【性质探究】
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.
(1)判断△AFG的形状并说明理由.
(2)直接写出BF与OG的数量关系.
【迁移应用】
(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当时,求的值.
【拓展延伸】
(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出的值.
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.
(1)判断△AFG的形状并说明理由.
(2)直接写出BF与OG的数量关系.
【迁移应用】
(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当时,求的值.
【拓展延伸】
(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出的值.
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3 . 【证明体验】
(1)如图1,为的角平分线,,点E在上,.求证:平分.
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下,F为上一点,连结交于点G.若,,,求的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形中,对角线平分,点E在上,.若,求的长.
(1)如图1,为的角平分线,,点E在上,.求证:平分.
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下,F为上一点,连结交于点G.若,,,求的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形中,对角线平分,点E在上,.若,求的长.
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2021-06-20更新
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3650次组卷
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31卷引用:福建省福州市福州三牧中学2021-2022学年九年级下学期4月月考数学试题(一模)
福建省福州市福州三牧中学2021-2022学年九年级下学期4月月考数学试题(一模)福建省莆田市哲理中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题福建省莆田市毓英中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题浙江省宁波市2021年中考数学试卷广东省深圳市宝安区宝安中学(集团)2021-2022学年九年级上学期期中数学试题安徽省江淮教育联盟2021-2022学年九年级上学期第一次联考数学试题2022年山西省中考考前适应性训练(一模)数学试题山西省临汾市襄汾县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题13 等腰三角形-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)(已下线)专题15 相似三角形-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)(已下线)专题41 几何问题(2)之综合问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国通用)2022年山东省枣庄市台儿庄区中考二模数学试题2022年河南省驻马店市六校联考普通高中招生考试模拟数学试卷(三模)2022年贵州省毕节市威宁县初中毕业生模拟数学试题(已下线)专题12 三角形与四边形重难点题型-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(浙江专用)(已下线)专题4.54 《图形的相似》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)(已下线)专题16 相似三角形与位似图形-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(浙江专用)(已下线)考点14 相似三角形四川省成都市青羊区成都市石室中学教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试题四川省成都市石室天府中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题27.49 《相似》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)(已下线)专题6.52 《图形的相似》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)辽宁省鞍山市千山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题第3章 图形的相似 单元测试卷-2022-2023学年湘教版九年级数学上册2023年湖北省武汉市洪山区华中科技大学附中中考模拟数学试题山东省德州市禹城市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题广东省深圳市光明区公明中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(已下线)湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年上学期九年级8班数学周测试卷10.19(已下线)九年级数学上学期期中测试卷01(北师大版,九上全册)-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练(北师大版)陕西省宝鸡市扶风县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2023年内蒙古中考数学模拟预测题
名校
4 . 感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,BD=4,则DE的长为 .
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,BD=4,则DE的长为 .
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2019-10-08更新
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5959次组卷
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15卷引用:2017-2018学年福建省漳州市龙海二中九年级(上)期中数学试卷
2017-2018学年福建省漳州市龙海二中九年级(上)期中数学试卷吉林省长春市五校2018届九年级上学期第二次月考(期中)数学试题吉林省长春市五校2018届九年级(上)期中数学试卷2018-2019学年吉林省长春市二道区九年级(上)第一次段考数学试卷【校级联考】吉林省长春市榆树市2018届九年级(上)期末数学试卷【区级联考】吉林省长春市铁南片区2019届九年级(上)期中数学试卷【区级联考】江苏省无锡市锡山区2019届九年级(下)第一次段测数学试卷【区级联考】四川省成都市金牛区2019年中考一模数学试题【校级联考】河南省南阳市新野县2019届九年级上学期期中质量调研数学试题2019年河南省许昌市实验中学中考一模数学试题吉林省长春市铁南片2019-2020学年华东师大版九年级(上)第一次月考数学试卷 河南省周口市淮阳区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(已下线)相似三角形模型(已下线)专题27.36 相似三角形几何模型-一线三等角(专项练习)-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)山东省济宁市曲阜市曲阜夫子学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
真题
5 . 在Rt△ABC,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.
(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:若AC≠BC.
①如图2,若D为AB中点,(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;
②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.
(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:若AC≠BC.
①如图2,若D为AB中点,(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;
②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.
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2019-01-30更新
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493次组卷
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5卷引用:2013年初中毕业升学考试(福建莆田卷)数学
2013年初中毕业升学考试(福建莆田卷)数学2014届江西省朝宗实验学校九年级下学期第一次段考数学试卷(已下线)【万唯原创】2015年安徽省中考数学-试题研究-综合训练2(已下线)【万唯原创】2016年安徽省中考数学-试题研究-空间与图形综合训练(一)(已下线)【万唯原创】2021安徽省中考数学模拟试题(一)
6 . 【探究】如图1,在等边△ABC中,AB=4,点D、E分别为边BC、AB上的点,连结AD、DE,若∠ADE=60°,BD=3,求BE的长.
【拓展】如图2,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3,= .
【拓展】如图2,在△ABD中,AB=4,点E为边AB上的点,连结DE,若∠ADE=∠ABD=45°,若DB=3,= .
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2019-10-18更新
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124次组卷
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3卷引用:福建省古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次阶段性诊断数学测试卷
福建省古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次阶段性诊断数学测试卷河南省郑州市郑州枫杨外国语学校2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题(已下线)专题冲刺小卷17 相似形-2020年《三步冲刺中考·数学》之最新模考分类冲刺小卷(全国通用)
7 . “如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.”这里,根据已学的相似三角形的知识,易证:=.在图1这个基本图形的基础上,继续添加条件“如图2,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F,设=.”
(1)探究发现:如图②,若m=n,点E在线段AC上,则= ;
(2)数学思考:
①如图3,若点E在线段AC上,则= (用含m,n的代数式表示);
②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图4的情形给出证明;
(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.
(1)探究发现:如图②,若m=n,点E在线段AC上,则= ;
(2)数学思考:
①如图3,若点E在线段AC上,则= (用含m,n的代数式表示);
②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图4的情形给出证明;
(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.
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2020-01-02更新
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272次组卷
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4卷引用:福建省泉州市南安市柳城教研片区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
真题
名校
8 . (1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
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2018-07-11更新
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4618次组卷
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40卷引用:福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题河南省2018年中考数学试卷【校级联考】江苏省泰州市泰兴市黄桥教育联盟2019届九年级中考模拟数学试题(3月份)【市级联考】河南省洛阳市2019届九年级中考第一次模拟测试数学试题【校级联考】江苏省连云港市灌云县2019届九年级中考模拟数学试卷【区级联考】山东省东营市垦利区2019届九年级中考一模数学试卷安徽省潜山市第四中学2019届九年级下学期第三次检测数学试题2019年江苏省无锡市江阴市澄要片中考数学模拟试卷(5月份) (已下线)【新东方】【义乌17】【2018】【初三上】2020年江苏省南通市如皋中学中考数学模拟试题2019年湖南省岳阳九中中考数学一模试题江苏省无锡市新吴区2018-2019学年九年级下学期第二次模拟数学试题2019年江苏省连云港市九年级中考模拟数学试题2020年安徽省芜湖市九年级升学一模数学试题2020年安徽合肥市第四十五中学九年级一模数学试题2020年江苏省扬州市江都区实验初级中学九年级一模数学试题2020年吉林省实验中学繁荣学校九年级下学期中考二模数学试题江苏省沭阳县修远中学2019-2020学年九年级下学期第三次月考数学试题2020年江苏省无锡市九年级中考数学模拟试题2020年四川省乐山市井研县中考数学一模试题2020年四川省乐山市井研县九年级初中学业水平适应性考试数学试题(已下线)【万唯原创】2019年河南省中考数学面对面 专题八类比、拓展探究题2020年辽宁省辽阳市九年级7月中考适应性数学试题人教版2020年九年级中考数学重点模型5(已下线)【万唯原创】图形旋转、平移和折叠引起的探究·基础专练(二)湖北省利川团堡初中2020-2021学年九年级上学期12月模拟数学试题(已下线)【万唯原创】2021年河南试题研究-第二部分题型9类型1(已下线)专题27.13 相似三角形的判定(培优篇)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题江苏省连云港市新海实验中学2019-2020学年九年级下学期期中数学试题2022年山东省淄博市周村区中考数学二模试题(已下线)专题4.21 相似三角形判定定理的证明(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)江西省石城县第二中学2021-2022学年九年级下学期第一次集中训练(月考)数学试题2023年湖北省武汉市洪山区九年级下学期3月月考数学试卷河南省南阳市镇平县侯集镇第二初级中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题(已下线)2023年武汉一模(几何综合)2024年山东省济南市中考数学模拟预测题(三)2023年广东省东莞市虎门外语学校中考一模数学试题2023年山东省济南市中考数学二轮模拟练习模拟预测题2024年湖北省武汉市武珞路中学中考四调数学试题
真题
9 . 类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)概念理解
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
(2)问题探究
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗?请说明理由.
②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB'方向平移得到△A'B'C',连结AA',BC'.小红要是平移后的四边形ABC'A'是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB'的长)?
(3)应用拓展
如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°,AC,BD为对角线,AC=AB.试探究BC,CD,BD的数量关系.
(1)概念理解
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
(2)问题探究
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗?请说明理由.
②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB'方向平移得到△A'B'C',连结AA',BC'.小红要是平移后的四边形ABC'A'是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB'的长)?
(3)应用拓展
如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°,AC,BD为对角线,AC=AB.试探究BC,CD,BD的数量关系.
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2019-01-30更新
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698次组卷
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7卷引用:2016届福建省泉州市泉港区九年级上学期期中教学质量检测数学试卷
真题
名校
10 . 如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;
②推断:的值为 :
(2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC= .
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;
②推断:的值为 :
(2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC= .
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2018-07-07更新
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5081次组卷
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46卷引用:福建省三明市建宁县2019届九年级上学期半期数学试题
福建省三明市建宁县2019届九年级上学期半期数学试题福建省宁德市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题福建省漳州市诏安县第一教研片2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题湖北省襄阳市2018年中考数学试卷(已下线)2018年中考试题分项版解析汇编【第二期】专题4.3 四边形冀教版数学九年级上学期第23-26章阶段性测评试卷【市级联考】安徽省亳州市2019届九年级上学期期末模拟考试数学试题【市级联考】江苏省南通市2018届九年级中考模拟数学试题【市级联考】山东省潍坊市2019届九年级上学期初中学业水平考试阶段检测数学试题【市级联考】河南平顶山市2019届九年级上学期期末考试数学试题【市级联考】河南省信阳市2019届九年级普通高中招生模拟考试(一)数学试题安徽省2019年中考考前最后一卷B卷九年级数学测试卷 2019年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷 山东省济南市2019-2020学年第一学期第一次月考初三数学试题四川省成都七中育才学校2018-2019 学年九年级上学期期中数学试题2020年江苏省灌南县中考线上一模数学试题2019年云南省昆明市十县区九年级下学期学业水平模拟(二)数学试题2020年广东省九年级下学期线上模拟测试数学试题2020年广东中考适应性线上模拟数学试题2020年山东省德州市平原县九年级数学中考一模试题2020年湖南省永州市中考数学模拟试题(一)2019年云南省昆明市十县区中考数学二模试题人教版2020年九年级中考数学重点模型5四川省青羊实验中学2020~2021学年九年级上学期10月月考数学试题浙江省湖州市湖州第五中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题山西省太原市杏花岭区实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题2021年山东省临沂市临沭县九年级一模数学试题广东省佛山市南海区里水镇里水初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题27.13 相似三角形的判定(培优篇)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)2022年山东省东营广饶自主招生模拟试题(已下线)专题4.21 相似三角形判定定理的证明(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版)广东省佛山市南海石门中学2022-2023学年九年级上学期数学第二次月考测试题2022年广东省江门市蓬江区紫茶中学九年级下学期第一次模拟数学试题四川省成都市七中育才学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题江西省吉安市峡江县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷2023年山东省济南市章丘中考二模数学试题陕西省西安市高新一中2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题安徽省芜湖市2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题(已下线)2023年济南二模(几何综合)湖南省湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题江西省抚州市东乡区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题甘肃省兰州市城关区第五十六中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题吉林省长春市第六十八中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题吉林省长春市第六十八中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题2024年广东省广州市中考三模数学试题2023-2024学年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试题