1 . 如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB∶PC=1∶．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明．

2 . （1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________；
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由，
（3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．

3 . 如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．

（1）求证：平分；
（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；
（3）若，，求的长．

4 . 问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为     ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

5 . （1）等边三角形△ABC中，点D是AB边所在直线上的一动点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，
①如图1，当D在线段AB上时，∠ABC与∠EAC有怎样的数量关系直接写出结论　 　
②如图2，当D在BA延长线上时，求证：∠ABC=∠EAC
③如图3，当D在AB延长线上时，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，直接写出结论　 　
（2）等腰三角形△ABC中，AB=AC，点D是AB边上一动点（D与A、B不重合），如图4，连接DC，以DC为边在BC边上方作等腰三角形△DCE，使顶角∠DEC=∠BAC，连接AE，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，给予证明

6 . 如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．

7 . 如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

8 . 如图，二次函数的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC, BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．

9 . 如图（1），抛物线 平移后过点A（8,0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
(1)求平移后抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)直接写出阴影部分的面积S；
(3)如图（2），直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点（点M不与点A，O重合），∠PMN为直角，MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时，△MAN为等腰三角形？

10 . 综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．

（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．