1 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且，求的值．

4 . （1）证明推断如图1，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．
①求证：；
②的值为________；
（2）类比探究如图2，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用在（2）的条件下，连接，当，平分时，若，求的长．

   

6 . （1）问题背景：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）

(1)结论：线段BD与CE的数量关系是　 　（请直接写出结论）；
(2)类比探索：在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：在（2）中，如果AB≠AC，且AB＝nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你写出BD与CE的数量关系（用含n的代数式表示），并写出理由．

7 . 【问题提出】如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

(1)【问题探究】如图（2），当点，重合时
①与的数量关系是_________．
②_________．
(2)如图（1），当点，不重合时，求的值．
(3)【问题拓展】如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，求出线段，，之间的数量关系（用一个含有的等式表示）．

9 . 在△AOB和△COD中，，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F．

(1)特例发现：如图1，若OA=OB，OC=OD．推断：
① ____________；
② 的度数为_________．
(2)探究证明：如图2，若．判断的值及的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：在(2)的条件下：若，，
①将△OCD绕点O顺时针旋转，使点与点E第一次重合，如图3，此时，求的长；
②在点与点E第一次重合后，若将①中得到的△OCD继续顺时针旋转，当点D在△AOB内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由．

10 . 在和中，，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F．
（1）特例发现：如图1，若，．推断：
①______；                    ②的度数为______．
（2）探究证明：如图2，若．判断的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若，，
①将绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时，求OC的长；
②在点D与点E第一次重合后，若将①重得到的继续顺时针旋转，当点D在内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．