1 . 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，请直接写出的值．
   

2 . （1）【证明】如图①，在△ABC中，D为BC上一点，∠CAD＝∠B．求证：CA²＝CD•CB．
（2）【应用】如图②，在▱ABCD中，P为BC上一点，Q为BA延长线上一点，∠CQP＝∠D．若CQ＝6，CP＝3，求AD的长．
（3）【拓展】如图③，在菱形ABCD中，P是BC上一点，BD∥PQ，BD＝2PQ，∠ABC＝2∠PAQ，当BP＝1，AQ＝3时，请直接写出菱形ABCD的边长．

3 . 已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．

(1)特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．　
①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；　
②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，试判断+是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

4 .
(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______；
(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长；

6 . 【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC²＝AD•AB．

【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

7 . 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

10 . 问题提出：

（1）如图1，在等腰直角中，，，点、分别在边、上，连接、，有．求证：；
问题探究
（2）如图2，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，若，，求的长；
问题解决
（3）如图3，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中，米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点、分别在线段、上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请找出点、的位置（即求出与的长），若不能，请说明理由．