1 . 如图，在四边形中，，，顶点，分别在射线，上运动（点不与重合，点不与重合），是边上的动点（点不与，重合），在运动过程中始终保持．

(1)求证：∽；
(2)当点为边的中点时（如图2），求证：平分；
(3)若，设，请探究：的周长是否与的值有关？若有关请用含的代数式表示的周长；若无关请说明理由，

2 . 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”、如图，在与中，，且．所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为a，连接，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与a之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，
①在图1中，若点E落在上，则“关联比”____________；

②在图2中，探究与的关系，并求出“关联比”值．

(2)如图3，当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”=______________；

[迁移运用]
(3)如图4，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．

3 . 综合与实践
如图1，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点．

   

【数学思考】
(1)折痕的长为______；
(2)绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
(3)绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点时，的长为______；
②如图3，当直线时，的长为______；
【问题延伸】
(4)在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．

5 . 如图1，中，，于点H，点D在上，且，连接．

(1)求证：；
(2)将绕点H旋转，得到（点B，D分别与点E，F对应），连接．
①如图2，当点F落在上时（F不与C重合），若，，求的长；
②如图3，当是由绕点H逆时针旋转得到时，设射线与相交于点G，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．

6 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是___________；

(2)变式探究：如图2，中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决；如图3，正方形的边长为10，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．若设正方形的面积为，．求与的函数关系式．

7 . 如图1，在中，为直径，点C在圆上，，，D是上一动点（与点A、B不重合），平分交边于点E，，垂足为点F．

(1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，则　　；
(2)若，试探究与有何面积关系，并证明；
(3)当与相似时，求的值．