4 . 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点O，则的面积为     ；
(2)性质探究：如图（2），已知的重心为点O，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点E是的中点，连接交对角线于点M，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
(4)思维拓展：如图（4），，N点的坐标为，M点的坐标为，点Q在线段上以每秒1个单位的速度由O向M点移动，当Q运动到M点就停止运动，连接，将分为和两个三角形，当其中一个三角形与原相似时，求点Q运动的时间t．

5 . 根据已知图形解答下列问题．
（1）问题发现
如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由．
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值．
（3）拓展延伸
如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6，AD=9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且=，当BP⊥AQ时，AP=      ．
　 　

6 . 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
（1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，
①求证：；
②填空：的值为______；
（2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．

7 . （1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）．