1 . 在矩形中，点O是对角线，的交点，直角的顶点p与O重合，，分别与，边相交于E，F，连接，（为常数）．
   
(1)发现问题：如图1，若，猜想          ．
(2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．

3 . 在和中，，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F．
（1）特例发现：如图1，若，．推断：
①______；                    ②的度数为______．
（2）探究证明：如图2，若．判断的值及的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若，，
①将绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时，求OC的长；
②在点D与点E第一次重合后，若将①重得到的继续顺时针旋转，当点D在内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．

4 . 问题提出
如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

问题探究
（）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．

6 . （1）证明推断如图1，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．
①求证：；
②的值为________；
（2）类比探究如图2，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用在（2）的条件下，连接，当，平分时，若，求的长．

   

7 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为                ；
【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值；

8 . 【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

9 . 如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转.

(1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______；
(2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值；
(3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长．

10 . 问题提出
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．求证：；
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，E，F分别是边和对角线的点，，，求的长；
拓展延伸
（3）如图3，在菱形中，交的延长线于点G．E，F分别是线段和上的点，，，求的长．