1 . 人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为．

【发现】
(1)如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形；
【探究】
(2)若点落在矩形对角线上，求的长；
【拓展】
(3)如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长．

2 . 由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

   

(1)【问题发现】
如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　        　；和的位置关系是 　        　；
(2)【类比探究】
如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N．
①求的度数；
②连接交于点H，直接写出的值；
(3)【拓展延伸】
如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．

3 . （1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接．
填空：① ___________；②的度数为___________；
（2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

   

6 . 综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．

   
【反思归纳】
(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：______；依据2：______．
【拓展延伸】
(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论．
①请你帮小明证明；
②当为直角三角形，且时，请直接写出的长．

7 . 综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

   

(1)操作判断   已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断：
①线段与线段的数量关系是________；
②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；
(2)迁移探究   如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长．

8 . 【回顾思考】：用数学的思维思考
   
(1)如图1，在中，．
①若是的角平分线．求证：．
②若点D，E分别是边的中点，连接．求证：．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)【猜想证明】：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得．进而提出问题：若点D，E分别运动到边的延长线上，与还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在中，，点D，E分别在边的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得，并证明．
(3)【拓展探究】：用数学的语言表达
如图3，在中，，E为边上任意一点（不与点A，B重合），F为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，求的取值范围；若不能，说明理由．

10 . 综合与实践
【问题背景】

   

如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处．
【问题解决】
(1)填空：的长为______；
(2)如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长．

(3)【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离．