2 . 综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？     在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．

   

(1)初步观察：
连接，则与的数量关系是：________；
(2)初步探究：
请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：
莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
(4)拓展探究：
莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

6 . 综合与实践课上，老师带领同学们开展以“图形的变化”为主题的数学活动．
(1)观察发现
如图1，如图1，将平面直角坐标系中 进行平移后得到 ，则线段与线段的位置关系为          ，数量关系为         ；如图2，将平面直角坐标系中以点B为旋转中心逆时针旋转 得到 则线段所在直线与线段所在直线的位置关系为         ；

(2)探究迁移
如图3，将平面直角坐标系中 进行平移后得到 ，再将 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到 线段 所在直线与线段所在直线相交于点P，锐角记为β，请判断α和β的数量关系并说明理由；

(3)拓展应用
如图4，平面直角坐标系中，，，，将在x轴上水平平移得到平移后以为旋转中心将逆时针旋转得到线段所在直线与线段所在直线在P点相交，若点在某个位置可使点P与点或点重合，请直接写出m的值．

7 . 【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片为矩形，且，，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______．
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______．
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，与重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转，旋转过程中，边与边相交于点T，边与边相交于点S，连接．请直接写出旋转过程中，，之间的数量关系．

8 . 问题情境：
在数学课上，张老师带领学生以“图形的平移”为主题进行教学活动．在菱形纸片中，，对角线 ，将菱形沿对角线 剪开，得到 和．将沿射线方向平移一定的距离，得到．
观察发现：
（1）如图①，菱形 中，       ；
如图②，连接，四边形的形状是              ；

操作探究：
（2）将 沿直线 翻折，得，如图③，然后沿射线 方向进行平移，连接 ，若添加一个条件，能否使得四边形是一个特殊的四边形？若能，请写出添加的条件和这个特殊的四边形，并写出证明过程，若不能，说明理由．

拓展应用：
（3）在（2）的条件下，设和相交于点，当是的三等分点时，直接写出的面积．

9 . 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.下面是王老师在“图形的翻折与旋转”主题下设计的问题，请你解答．
如图1，中，，，点是折线上的动点，连接，线段沿折叠得到线段，点绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且，作射线交折线于点．

   

(1)观察发现
         (选填“”，“”或“”) ．
(2)探究迁移
①如图2，当点、点和点共线时，判断与的数量关系，并说明理由．
②若，，求的长．
(3)拓展应用
若，，，点在运动过程中， 当点恰好落在的边所在直线时，请直接写出的长．

10 . 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．