2 . 【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．
   
(1)结合图①，完成解答过程．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长．
(3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．

3 . （1）观察猜想：如图1，在中，．点D是的平分线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

①的值是______；②射线与直线相交所成的较小角的度数是______．
（2）类比探究
如图2，在中，．点是的平分线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
请写出的值及射线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，请直接写出当时，的长为_______．

4 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．

5 . 【综合与实践】
在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明过程如下：连接，
∵正方形沿折叠，
∴①            ，
又∵，
∴，
∴．
由题意可知E是的中点，设，则，
在中，可列方程：②       ，(方程不要求化简)
解得：③          ，即H是边的三等分点．
“励志”小组对矩形纸片进行了如下操作：
第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；
第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．

【过程思考】
（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：            ，②：            ，③：            ；
（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．

6 . 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．
(1)【观察发现】
①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则线段与的数量关系是            ；

②如图2，的角平分线相交于点P，当时，线段与的数量关系是            ；

(2)【探究迁移】
如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．

(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，若，，当有一个内角是时，请直接写出边的长．

7 . 中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接.
问题初现：
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______；
类比探究：
（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.

8 . 综合与实践

（1）【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：            ．
（2）【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长：            ．

10 . 如图(1)，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．易证四边形是正方形．

(1)推断，的值为     ；
(2)探究与证明：将正方形绕点C顺时针方向旋转α角，如图(2)所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由：
(3)拓展与运用：正方形在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长交于点H．若，．则