1 . 探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

2 . 综合与实践
   
(1)问题提出
如图①，在与中，，，点在边上，连接，点在边上，点为的中点，连接，，，则的形状是______．
(2)问题探究
如图②，将图①中的绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，试判断，，的数量关系，并说明理由；
(3)拓展延伸
在图②中，若，，将绕点按逆时针方向旋转，当点在线段上时，求线段的长（用含的式子表示）．

4 . 综合与实践：
   
(1)问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°．
(2)类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数；
(3)拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）．

5 . 综合与实践
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和等于边长平方的两倍”

(1)初步探究：如图①，为等边三角形，是外接圆上任意一点，证明的思路如下，图②中，在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证明，由此得出．请写出的证明过程
(2)继续探究：如图②，设，，，，求证
(3)拓展探究：如图③，点为正六边形的外接圆上一点，设，，，，，，．试探究，，，，，与之间的数量关系

6 . 【问题提出】如图1，在中，，点，分别为边，的中点，将绕点顺时针旋转，连接，，试探究，之间存在怎样的数量关系和位置关系？

   

【特例探究】若，将绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线与，分别交于点，．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：
∵，点，分别为边，的中点
∴
∵
∴
∴（__________）
∴__________，
又∵
∴
∴__________．
【猜想证明】若，绕点顺时针旋转至图3的位置，直线与，分别交于点，，猜想与之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；
【拓展运用】若，，将绕点顺时针旋转，直线与相交于点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．

7 . 【初步发现】如图1，在中，，．点D，E分别在边AC，AB上，且，则______．
   
【探究证明】如图2，在中，，．将绕点A旋转一定的角度后的图形是，连接，，求的值．
   
【综合拓展】如图3，在矩形中，，，M为的中点，求证：．
   

8 . 如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．

(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．