1 . 小杰同学在中考总复习时，遇到一个课本上的问题，温故知识后进行了操作推理与拓展应用．
（1）温故知识：如图①，在中，一个正方形的边在上，顶点P，N分别在，上，作于点D，交于点E，若，．求正方形的边长；（用含a，h的代数式表示）
（2）操作推理：如何画出这个正方形呢？
如图②，小杰画出了图①的，然后又进行以下操作：先在边上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连接，并延长交于点N，作于点M，交于点P，于点Q，得到四边形．证明：图②中的四边形是正方形；
（3）拓展应用：在（2）的基础上，在线段上截取，连接，（如图③），当时，请直接写出线段的长．（用含a，h的代数式表示）

2 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转90°，点A的对应点为点E，连接AE，则______．

（2）【问题解决】
如图2，在中，，，，延长CB到M，使，将斜边AB绕点B顺时针旋转90°到BE，连接CE，ME．求ME的长．

（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABDF中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示AD的长．

3 . 在中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
   
(1)如果，如图①，当点与点重合时，求证：；
(2)在（1）的条件下，当点在线段上，且不与点，重合时，如图②，小明想要求证，他发现过点作交于点，交于点后，就可以借助第（1）题的结论来解决此题，请你按照他的思路完成证明过程；
(3)如果，如图③，已知（为正数），当点在线段上，且不与点，重合时，请探究的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．

4 . 如图1，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连接、、．

(1)求证：
(2)如图2，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．探究：当点、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由．

5 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)如图1，在正方形中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：．
(2)如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值．
(3)如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长．

6 . （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．

7 . 如图，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．

   

(1)求该抛物线的函数关系式与点坐标；
(2)已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？
(3)在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）；
①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，的最小值．

9 . 数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究，如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一：如图3，将铅笔绕端点A顺时针旋转，与交于点D．

(1)数学思考：若垂直，设．
①的长是______（用含x的代数式表示），的长是______（用含y的代数式表示）
②求y与x的函数关系式．
(2)活动二：若（1）中的x，y满足，根据（1）中求得的y与x的函数关系式，求x的值．

10 . 如图，的内接三角形中，，延长于D，使，过D作的切线，切点为E，连接、、、．

(1)求证：是的切线；
(2)探究：在长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．