1 . 图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)请探究，，三条线段的数量关系，并说明理由．

3 . 【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

(1)【问题解决】
如图1，填空：四边形的形状是__________．
(2)如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．
①请帮助小明写出证明过程；
②如图2，若，求的值．
(3)【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．

4 . 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B₁C₁⊥AC于点C₁，交AB的延长线于点B₁．
（1）请你探究：是否都成立？请说明理由．
（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值．

7 . （1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：
如图①，当四边形是矩形时，的直角顶点M在边上运动，直角边分别与线段、线段交于E、F两点，在点M运动的过程中，始终存在着.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图②，在中，，点D为边上的动点，过点D作，交于点E，交于点F，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）结合上述规律，解决下列问题：
如图③，在中，，，点P为上一点（不与B、C重合），过点P作于点E，交于点F，若为等腰三角形，求的长.

8 . （11·漳州）如图1，抛物线y＝mx²－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

9 . 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．
（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证；

（2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．

10 . 如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，将△ECF绕点F在BD的上方左右旋转，设旋转时FC交BA于H（不与点B重合），EF交DA于G（不与点D重合），求证：BH·GD=BF²
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（不与点B、D重合），且CF如终过点A，过点A作AG∥CE，交EF于G，连接DG
探究：FD+DG=      ，并请证明你的结论