4 . 【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
   
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；

(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．

5 . “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小亮玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，、分别与相切于点C、D，延长、交于点P，连接、，的半径为2，．

(1)连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若某时刻，与交于点N，求的长．

7 . 探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）



点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

10 . 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点；顶点为点．
（1）若线段的长8，求的值；
（2）连接，．若，求点的坐标；
（3）连接，若，点是该抛物线上任意一点，若对于任意实数，总有成立，求实数的最小值．