1 . 如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，，，则_____．

2 . 如图，在中，，，，，，将绕点旋转，连接、，在上方作交于，连接，当最大时，的长为 _____．

3 . 已知四边形的一组对边、的延长线交于点E．

(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若，，，，，求四边形的面积．
(3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F．若，，，直接写出的长（用含n的式子表示）．

4 . 如图1，为的直径，C为上一点，，与交于点E，点C为的中点．

(1)求证：直线与相切；
(2)如图2，直径上有一点F，满足，当时，求的值．

5 . 如图，，，点M是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点A落在点N处，连接，以为斜边在直线的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形，则点M从A运动到C的过程中，线段的最小值是 __________________，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是 ________________．

6 . 如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是__________________．

7 . 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．
【问题解决】
（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？

8 . 如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．

   

(1)求证：与圆O相切．
(2)当，＝时，求圆O的半径．

9 . 在矩形中，点E为射线上一动点，连接．

(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
①如图1，若，求的度数；
②如图2，当，且时，求的长．
(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长．

10 . 如图，在矩形中，，平分交于点E．连接，点F是上一动点，过点F作交于点G． 将绕点B旋转得到，       

   

(1)如图1，连接，求证：；
(2)当点恰好落在直线上时，若，求的值；
(3)如图3，连接，当与交于点F时，猜想与的数量关系，并证明．