1 . 如图，是的直径，C是上异于A、B的点，外的点E在射线上，直线与垂直，垂足为D，且．

(1)求证：是的切线；
(2)如果A是的中点，，求的值．

2 . 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．

(1)分别求出，的值和直线的解析式；
(2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

4 . 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E是上的一个动点，连接，交于点F．

   

(1)如图①，当时，求          ；
(2)如图②当平分时，求证：；
(3)如图③，当点E是的中点时，过点F作于点G，求证：．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若线段将分成面积比为两部分，，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

6 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，为边上的一点且，．将沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．
   

8 . （1）如图①在内，，，D是内一点，将绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接、，判断与的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图②，当，延长交于点F，若，时，求的长．
（3）如图③，在和中，，，连接、填空：
①线段与的数量关系是______________；
②当时，点E到的距离的长为2，则线段的长为__________．

9 . 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．

(1)求证：为的切线；
(2)连接，取的中点，连接．若，，求的长．

10 . 如图①，在四边形中，点P为上一点，当时，

(1)求证：．
(2)探究：如图②，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(3)应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图③，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当时，求t的值．