1 . 【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为     ；
【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

2 . （1）如图，Rt与Rt ，点在上，点在上，，，则 ______， ______；

（2）如图，在（1）的条件下，Rt 绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．

（3）拓展：如图，矩形，为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，求的最小值．

3 . 操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上.

(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______.
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.
(3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明；

4 . [问题背景]
(1)如图①，已知，求证：．

[尝试应用]
(2)如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求①______．②的值．

[拓展延伸]
(3)如图③，是内一点，，，，，直接写出的长______．

5 . 【阅读理解】我们知道，利用相似三角形性质求线段长是常用求线段长的方法之一，如图①，在△ABC中，D为BC上一点，若∠BAD＝∠C，可易证△ABD∽△CBA，从而可得AB²＝BD·BC，若已知其中两条线段的长即可求出第三条线段的长．

(1)【尝试应用】如图②，在▱BCEF中，D为BC上一点，E为AC上一点，∠BAD＝∠C，若AB＝8，BD＝5，求EF的长．
(2)【拓展应用】如图③，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EFAC，∠EDF＝45°，EF＝8，DE＝12，请求出正方形ABCD的边长．

6 . 数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．

(2)特例启发，解答题目．
解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）

(3)拓展结论，设计新题．
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．

8 . 小文解答这样一个数学问题：如图1，在中，，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．小文经过思考发现，如图2，过点A作，交BE的延长线于点F，通过构造，经过推理和计算就能使问题得到解决．

(1)解决问题：请你根据小文的解题思路，完成求的值的过程；
(2)拓展应用：参考小文思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，．
①求的值；
②若，求BP的长．

9 . 阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．

解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

10 . [教材呈现]如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．

[方法运用]在ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在边AC上．
（1）如图①，当点D是边BC中点时，AD的取值范围是　     ．
（2）如图②，若BD：DC＝1：2，求AD的取值范围．
[拓展提升]（3）如图③，在ABC中，点D、F分别在边BC、AB上，线段AD、CF相交于点E，且BD：DC＝1：2，AE：ED＝3：5．若ACF的面积为2，则ABC的面积为　 　．