1 . 如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为
，则原三角形叫和谐三角形．
(1)如图1，已知
是
中
边上的中线，
，
，求证：是和谐三角形；
(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐；
(3)如图3，在（1）的条件下，作
的外接圆
，E是上一点，且满足
，连接DE，
①设
，
，求y关于x的函数表达式；
②当
时，求的半径．
，则原三角形叫和谐三角形．(1)如图1，已知
是中边上的中线，，，求证：是和谐三角形；(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐
；(3)如图3，在（1）的条件下，作
的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE，①设
，，求y关于x的函数表达式；②当
时，求的半径．
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2 . 在
中，
，
，
，将绕点C逆时针旋一个角度
得到
，连接
，
．
(1)如图①，当
时，求证：
；
(2)如图②，当
时，点
在
上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由；
(3)如图③，当
时，如果
，连接
，求的长．
中，，，，将绕点C逆时针旋一个角度得到，连接，． (1)如图①，当
时，求证：；(2)如图②，当
时，点在上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由；(3)如图③，当
时，如果，连接，求的长．
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3 . 如图，在与
中，
， 
，射线
与直线
交于点P．
；
(2)若
，求
的值；
(3)若绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段
的最大值与最小值．
与中，， ，射线与直线交于点P．
；(2)若
，求的值；(3)若
绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值．
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2024-01-26更新
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122次组卷
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5卷引用：2020年四川省成都市高新区九年级一诊（上学期期末）数学试题
4 . 如图，已知E是正方形
中
边延长线上一点，且
，连接
与交于点N，F是
的中点，连接
交于点M，连接
．有如下结论：①
；②
；③ 
④
，其中正确的是（ ）
中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（ ）| A．①②③ | B．①②④ | C．②③④ | D．①②③④ |
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名校
5 . 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，直线
交
轴于
，交
轴于
，经过、两点的抛物线
交轴于另一点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)
为抛物线上第四象限上一点，连接
、
、，设点的横坐标为
，
的面积为
，求与的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，点
为抛物线上一点，当的面积最大时，
，求点的坐标．
为坐标原点，直线交轴于，交轴于，经过、两点的抛物线交轴于另一点．(1)求抛物线的解析式；
(2)
为抛物线上第四象限上一点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；(3)在（2）的条件下，点
为抛物线上一点，当的面积最大时，，求点的坐标．
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真题
6 . 如图，在菱形中，对角线
相交于点O，
，
．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为
；同时，动点Q从点A出发，沿
方向匀速运动，速度为
．以
为邻边的平行四边形
的边
与交于点E．设运动时间为
，解答下列问题：上时，求t的值；
(2)连接
．设
的面积为
，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在
的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
上时，求t的值；(2)连接
．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；(3)是否存在某一时刻t，使点B在
的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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2023-09-20更新
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1711次组卷
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4卷引用：2023年山东省青岛市中考数学真题
2023年山东省青岛市中考数学真题浙江省嘉兴市嘉善县嘉善四中实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（已下线）突破06 函数与几何图形动态探究题（5类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）重难点04 二次函数综合(7大题型+满分技巧+限时分层检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）
7 . 如图1所示，E为矩形的边上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以
/秒的速度沿折线
运动到点C时停止，点Q以
/秒的速度沿运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，
的面积为
．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线
为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：
①
时，
；
②当
秒时，
；
③
；
④当
秒时，
；
⑤线段
所在直线的函数关系式为：
．其中正确的是（ ）
的边上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以/秒的速度沿折线运动到点C时停止，点Q以/秒的速度沿运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①
时，；②当
秒时，；③
；④当
秒时，；⑤线段
所在直线的函数关系式为：．其中正确的是（ ） | A．2个 | B．3个 | C．4个 | D．5个 |
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真题
名校
8 . 如图1，在中，
是边上不与
重合的一个定点．
于点，交于点
．
是由线段
绕点
顺时针旋转
得到的，
的延长线相交于点
．
；
(2)求
的度数；
(3)若
是的中点，如图2．求证：
．
中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．
；(2)求
的度数；(3)若
是的中点，如图2．求证：．
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2023-06-26更新
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2030次组卷
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8卷引用：2023年福建省中考数学真题
2023年福建省中考数学真题（已下线）专题11 图形变换-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（福建专用）（已下线）专题07 全等三角形、相似三角形-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（福建专用）（已下线）专题32图形的相似（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】（已下线）专题4.42 图形的相似（全章直通中考）（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）福建省泉州市永春县第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）第1讲 相似三角形2024年黑龙江省绥化市明水县中考一模数学试题
9 . 【定义学习】
过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
如图1，
，
，垂足分别为A、B，则
为“点足三角形”，
为“垂角”．
【性质探究】．
(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③）
①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；
②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；
③两条直线所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或
度．
(2)如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与
，
，相交于C、D，连接．
求证：
．
【迁移运用】
(3)如图3，
，点A在射线上，点B是射线
上的点，且
，
．则是否存在一点O．使得“点足三角形
”的面积为
，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．
如图1，
，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】．
(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③）
①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；
②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；
③两条直线所夹锐角为
度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或度．(2)如图2，点O为平面内一点，
，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接．求证：
．【迁移运用】
(3)如图3，
，点A在射线上，点B是射线上的点，且，．则是否存在一点O．使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
您最近一年使用：0次
名校
10 . 已知菱形
，
经过A、B、D三点，且与
相交于点E．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，连接
，求证：
；
(3)如图3，与
相交于点H，连接
，且
，的半径长为
，
与
相交于点F，求线段
的长．
，经过A、B、D三点，且与相交于点E．(1)如图1，求证：
；(2)如图2，连接
，求证：；(3)如图3，
与相交于点H，连接，且，的半径长为，与相交于点F，求线段的长．
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