1 . 如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且．
   
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．

2 . 在矩形中，，，，连结，点F是边上一动点，连结，交于点G．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当点F与点C重合时，求的长；

3 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点（点E不与点B、C重合），交延长线于点F．
   
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点K，过点D作交于点G，垂足为点H，连接、．
①求证：；
②若，设，当是等边三角形时，求x的值；
③当时，求证：．

4 . 如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，．

(1)求证：；
(2)已知，求．

5 . 如图1，在正方形中，点为边上的点，，连结、，过点 作，垂足为点，与、分别交于点、，连结．
（1）①求证：≌；
②求证：；
（2）如图2，当时，求的值．

6 . 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.

7 . 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．

（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；
（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．

8 . 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE．
（1）求证：△ABE∽△FDE；
（2）当BE=3DE时，求tan∠1的值．

9 . 如图9.1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC于E，连接CD，过点A作AF∥DE交CD于点F，交BC于点G，连接EF.

（1）求证：△BED∽△BAC；

（2）写出所有与△BED相似的三角形（△BAC除外）；

（3）如图9.2，若四边形ADEF是菱形，连接对角线AE与DF相交于点O.

①求证：OA²=OC·OF；

②当AE=12，CF=5时，求OF的长，并直接写出△BED与△BAC的相似比的值.

10 . 如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为1的正方形．
（1）求证：△AEF∽△CEA；
（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°．