1 . 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

2 . 已知函数则下列说法中，正确的有（       ）

A．若，则方程有实数根

B．若，则方程有2个实数根

C．若方程有3个不同实数根，则

D．若方程有4个不同实数根，则

3 . 下列命题中，是真命题的有（       ）

A．集合的所有真子集为

B．若（其中），则

C．是等边三角形是等腰三角形

D．

4 . 下列命题中正确的是（    ）

A．已知，，则

B．的值为1

C．若，则的值为

D．若且，则

5 . 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．

6 . 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合，证明:集合是一个数域.

7 . 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.
(1)若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.

8 . 矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设，
(1)当△APR是等腰三角形，求；
(2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：；
(3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值.

9 . 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交，，，设.

(1)若时，求MC的长；
(2)①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；
②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.

10 . 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.