名校
1 . 对于定义在上的函数,如果存在一组常数,,…,(为正整数,且),使得,,则称函数为“阶零和函数”.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
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2 . 设为正整数,集合对于,设集合.
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
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名校
3 . 已知集合,对于,,定义A与B的差为,A与B之间的距离为.
(1)直接写出中元素的个数,并证明:任意,有;
(2)证明:任意,有是偶数;
(3)证明:,有.
(1)直接写出中元素的个数,并证明:任意,有;
(2)证明:任意,有是偶数;
(3)证明:,有.
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名校
4 . 已知集合(,),若存在数阵满足:
①;
②.
则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵是的一个“好数阵”,试写出,,,的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
①;
②.
则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵是的一个“好数阵”,试写出,,,的值;
(2)若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
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2024-03-27更新
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601次组卷
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3卷引用:北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习(一)数学试题
名校
5 . 设A是正整数集的一个非空子集,如果对于任意,都有或,则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集;
(2)若n为偶数且,求证:的所有含5个元素的子集中,自邻集的个数是偶数;
(3)若,求证:.
(1)直接写出的所有自邻集;
(2)若n为偶数且,求证:的所有含5个元素的子集中,自邻集的个数是偶数;
(3)若,求证:.
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名校
6 . 设为正整数,集合. 任取集合A中的个元素(可以重复),,,,其中.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
(1)若,,直接写出;
(2)对于,,,证明:;
(3)对于某个正整数,若集合A满足:对于A中任意个元素,都有,则称集合A具有性质. 证明:若,集合A具有性质,则,集合A都具有性质.
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7 . 已知数集具有性质P:对任意的k,,使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;
(2)若,求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A;
(3)求证:.
(1)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;
(2)若,求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A;
(3)求证:.
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名校
8 . 有如下条件:
①对,,2,,均有;
②对,,2,,均有;
③对,,2,3,;若,则均有;
④对,,2,3,;若,则均有.
(1)设函数,,请写出该函数满足的所有条件序号,并充分说明理由;
(2)设,比较函数,,值的大小,并说明理由;
(3)设函数,满足条件②,求证:的最大值.(注:导数法不予计分)
①对,,2,,均有;
②对,,2,,均有;
③对,,2,3,;若,则均有;
④对,,2,3,;若,则均有.
(1)设函数,,请写出该函数满足的所有条件序号,并充分说明理由;
(2)设,比较函数,,值的大小,并说明理由;
(3)设函数,满足条件②,求证:的最大值.(注:导数法不予计分)
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2024-02-23更新
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455次组卷
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5卷引用:北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
9 . 已知有个连续正整数元素的有限集合(,),记有序数对,若对任意,,,且,A同时满足下列条件,则称为元完备数对.
条件①:;
条件②:.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对,并说明理由;
(2)试证明不存在8元完备数对.
条件①:;
条件②:.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对,并说明理由;
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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241次组卷
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2卷引用:北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
名校
解题方法
10 . 给定正整数,设集合.对于集合中的任意元素和,记.设,且集合,对于中任意元素,若则称具有性质.
(1)判断集合是否具有性质?说明理由;
(2)判断是否存在具有性质的集合,并加以证明.
(1)判断集合是否具有性质?说明理由;
(2)判断是否存在具有性质的集合,并加以证明.
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2024-01-25更新
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268次组卷
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4卷引用:北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(已下线)专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2(已下线)专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式)练