1 . 三角函数的定义是：在单位圆C：中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，

   

（1）阅读上述文字并求出,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①；
②；
（Ⅱ）①求函数在R上的值域；
②若对，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知的级数展开式为，写出的级数展开式．

2 . 若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.
(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）
(2)求函数的全变差；
(3)证明：函数是上的有界变差函数.

3 . 已知函数满足：①的一个零点为2；②的最大值为1；③对任意实数都有.
(1)求，，的值；
(2)设函数是定义域为的单调增函数，且.当时，证明：.

4 . 已知函数.
(1)记集合，若，求证：；
(2)设函数，若存在实数，使，求实数取值范围.

5 . 设实数a、bR，.
(1)解不等式:；
(2)若存在，使得，，求的值；
(3)设常数，若，，.求证:.

6 . 已知函数.
(1)若，是否存在a，使为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；
(2)若，判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)已知，存在，对任意，都有成立，求a的取值范围.

7 . 已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称．
(1)求证：当时，；
(2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式；
(3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式．