名校
1 . 已知集合
）具有性质
：对任意
与
至少一个属于
.
(1)分别判断集合
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)
具有性质，当
时，求集合；
(3)记
，求
.
）具有性质：对任意与至少一个属于.(1)分别判断集合
与是否具有性质，并说明理由；(2)
具有性质，当时，求集合；(3)记
，求.
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2022-11-21更新
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412次组卷
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2卷引用：上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题
名校
2 . 对于给定的整数
，若非空集合满足如下条件：①
；②
；③对任意
、
，若
，则
，则称集合为“减集”.
(1)分别判断集合
是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由；
(2)证明：不存在“减2集”；
(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）
，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”.(1)分别判断集合
是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由；(2)证明：不存在“减2集”；
(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）
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名校
解题方法
3 . 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①
；②若
，则
，且
时，
．
(1)分别判断集合
，有理数集
是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若，则；
(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有
．
；②若，则，且时，．(1)分别判断集合
，有理数集是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合
是“好集”，求证：若，则；(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若
，则必有．
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名校
4 . 已知，集合
，对于
，定义A与B之间的距离为：
．
(1)对任意的
，请写出
可能的值（不必证明）；
(2)设
，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为
，求的最大值；
(3)对，定义：
．求证：对任意的
，有以下结论成立：
①
．
②
三个数中至少有一个是偶数．
，对于，定义A与B之间的距离为：．(1)对任意的
，请写出可能的值（不必证明）；(2)设
，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值；(3)对
，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立：①
．②
三个数中至少有一个是偶数．
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2022-11-13更新
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290次组卷
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5卷引用：上海交通大学附属中学嘉定分校2022-2023学年高一上学期期中数学试题
上海交通大学附属中学嘉定分校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）（已下线）期中真题必刷压轴30题-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）北京市大峪中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
5 . 对于任意有限集
，定义集合
表示
的元素个数.已知集合
为实数集
的非空有限子集，设集合
.
(1)若
，求集合
和
；
(2)已知
为有限集，若
，证明：
.
(3)若
，求
的值.
，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.(1)若
，求集合和；(2)已知
为有限集，若，证明：.(3)若
，求的值.
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2022-11-11更新
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482次组卷
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5卷引用：上海市行知中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
上海市行知中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）期中真题必刷压轴30题-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）北京市陈经纶中学2022-2023学年高一上学期12月诊断数学试题（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）（已下线）期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
名校
6 . 对于一个数集
，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②
；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集
为有理数域，实数集为实数域.
(1)证明整数集
不是数域；
(2)判断集合
是否为数域，并说明理由；
(3)若
为任意两个数域且
中至少存在两个非零元素，判断
是否为数域，并说明理由.
，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域.(1)证明整数集
不是数域；(2)判断集合
是否为数域，并说明理由；(3)若
为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由.
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名校
7 . 已知集合
具有性质：对任意，
（
），
与至少一个属于.
(1)分别判断集合
，与
是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：
；
(3)具有性质，当时，求集合.
具有性质：对任意，（），与至少一个属于.(1)分别判断集合
，与是否具有性质，并说明理由；(2)证明：
；(3)
具有性质，当时，求集合.
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2022-11-08更新
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305次组卷
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3卷引用：上海市光明中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题
8 . 已知集合
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素
，若
都不能整除
，则称集合A是S的“好子集”．
(1)分别判断数集
与
是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有
；
(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．(1)分别判断数集
与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有；(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
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22-23高一上·北京海淀·期中
名校
9 . 对于正整数集合，记
，记集合
所有元素之和为
，
．若
，存在非空集合
、
，满足：①
；②
；③
，则称存在“双拆”．若
，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
(1)判断集合
和
是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；
(2)
，证明：不能“任意双拆”；
(3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．
，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．(1)判断集合
和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；(2)
，证明：不能“任意双拆”；(3)若
可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．
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2022-11-04更新
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555次组卷
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6卷引用：第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）
（已下线）第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）北京市海淀区中国人民大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中练习数学试题北京市海淀区二十中学2022-2023学年高一上学期阶段性检测（12月月考）数学试题（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题北京市第二中学2023-2024学年高一上学期第一学段考试数学试卷
名校
10 . 已知集合M，对于它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以
后再求和，称为A的“元素特征和”. 比如∶A={4}的“元素特征和”为×4=4，A={1，2，5} 的“元素特征和”为
，那么：
（平行班）集合
的所有非空子集的"元素特征和"的总和为_______
（实验班）集合
的所有非空子集的“元素特征和”的总和为_______
后再求和，称为A的“元素特征和”. 比如∶A={4}的“元素特征和”为×4=4，A={1，2，5} 的“元素特征和”为，那么：（平行班）集合
的所有非空子集的"元素特征和"的总和为（实验班）集合
的所有非空子集的“元素特征和”的总和为
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