1 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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157次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
2 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和
奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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名校
3 . 设
为正整数，集合
. 任取集合A中的
个元素（可以重复）
，
，
，
，其中
.
(1)若
，
，直接写出
；
(2)对于
，
，
，证明：
；
(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意
个元素
，都有
，则称集合A具有性质
. 证明：若
，集合A具有性质
，则
，集合A都具有性质.
为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中.(1)若
，，直接写出；(2)对于
，，，证明：；(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质.
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名校
4 . 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合
的函数称为次置换.满足对任意
的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于
，我们可用列表法表示此置换：
，记
.
(1)若
，计算
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得
为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.(1)若
，计算；(2)证明：对任意
，存在，使得为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
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2024-02-27更新
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2299次组卷
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4卷引用：浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷（已下线）第3套-期初重组模拟卷湖南省湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(一）数学试题（已下线）数学（九省新高考新结构卷02）
名校
解题方法
5 . 已知奇函数
的定义域为
.
(1)求实数
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义证明；
(3)存在
，使得
成立，求实数m的取值范围．
的定义域为.(1)求实数
的值；(2)判断函数
的单调性，并用定义证明；(3)存在
，使得成立，求实数m的取值范围．
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2023-12-15更新
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1364次组卷
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17卷引用：江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期暑期检测模拟测试数学试题
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期暑期检测模拟测试数学试题（已下线）2023届高三第一次月考押题卷（测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数）江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三上学期阶段检测二数学试题辽宁省大连长兴岛高级中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题陕西省西安市雁塔区第二中学2021-2022学年高二下学期第二次月考理科数学试题（已下线）期中模拟卷01（测试范围：前三章）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（已下线）第三章 函数（单元测试）（能力卷）-高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）（已下线）第四章 幂函数、指数函数与对数函数（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）（已下线）5.2.3 函数的最值-同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）上海市朱家角中学2023-2024学年高一上学期第二阶段质量检测数学试题广东省广州市番禺区象贤中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（已下线）单元高难问题03函数恒成立问题和存在性问题-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（一）上海市杨浦高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（二）福建省宁德市第五中学2023-2024学年高一下学期开门考数学试题
解题方法
6 . 已知函数
(1)判断并证明函数在区间
上的单调性；
(2)求函数在区间
上的值域．
(1)判断并证明函数
在区间上的单调性；(2)求函数
在区间上的值域．
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2023-08-31更新
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593次组卷
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4卷引用：江西省宜春市百树学校2024届高三上学期开学考试数学试题
江西省宜春市百树学校2024届高三上学期开学考试数学试题江苏省盐城市响水县灌江高级中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）3.函数的单调性和最值（分层练习，七大题型）-高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）陕西省汉中市城固县第二中学2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题
解题方法
7 . 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有
，当
时，
．
(1)求证：是周期函数；
(2)当
时，求的解析式；
(3)计算
．
是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．(1)求证：
是周期函数；(2)当
时，求的解析式；(3)计算
．
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13-14高三·全国·课后作业
名校
解题方法
8 . 已知定义域为R的函数
是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在
上为减函数；
(3)若对于任意
，不等式
恒成立，求k的范围
是奇函数.(1)求a、b的值；
(2)用定义证明
在上为减函数；(3)若对于任意
，不等式恒成立，求k的范围
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2023-10-17更新
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1419次组卷
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55卷引用：2014年高考数学全程总复习课时提升作业（七）第二章第四节练习卷
（已下线）2014年高考数学全程总复习课时提升作业（七）第二章第四节练习卷2017届山东临沭一中高三上学期10月月考数学（文）试卷2017届辽宁鞍山一中高三上一模考试数学（文）试卷江西省上高县第二中学2018届高三上学期第四次月考数学（理）试题江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初数学试题（已下线）专题02 函数与导数-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）（已下线）专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】北京市通州区潞河中学2024届高三上学期10月月考数学试题广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题山东省宁阳四中2017-2018学年高一上学期期中测试数学试题【校级联考】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试卷【校级联考】江西省赣州教育发展联盟2018-2019学年高一上学期12月联考数学试题【校级联考】黑龙江省鸡西市龙东南七校联考2018-2019学年高一上学期期末数学试题【市级联考】广东省潮州市2018-2019学年高一上学期期末教学质量检测数学试题吉林省长春市第一五一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题河北省邯郸市鸡泽县第一中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题浙江省杭州市长征中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题（已下线）【新东方】杭州高一数学试卷226河南省郑州市第一中学2019-2020学年高一国庆返校测试数学试题湖北省恩施州清江外国语学校2019-2020学年高二上学期期末数学试题人教A版(2019) 必修第一册(下) 重难点知识清单 第四章 指数函数与对数函数 单元学能测评（已下线）4.2+第2课时+指数函数及其性质的应用（分层练习）-2020-2021学年高一数学新教材配套练习（人教A版必修第一册）（已下线）【新东方】双师（13）安徽省合肥市肥东县第二中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题（已下线）4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用（分层练习）-2021-2022学年高一数学教材配套学案+练习（人教A版2019必修第一册）河北省石家庄九中2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）第4章 指数函数与对数函数-2021-2022学年高一数学课后培优练（人教A版2019必修第一册）（已下线）综合复习与测试03-2021-2022学年高一数学课后培优练（人教A版2019必修第一册）（已下线）第4章 指数函数与对数函数 章末测试（基础）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）江苏省扬州中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题广西桂林市兴安县第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）第三章 指数运算与指数函数（A卷·知识通关练）（2）广东省广州市第五中学2022-2023学年高一上学期第一次段考数学试题陕西省咸阳市礼泉县第二中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题江苏省扬州市2022-2023学年高一上学期期中模拟数学试题福建省上杭县第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题四川省泸定中学2022-2023学年高一上学期第三次质量检测数学试题（已下线）突破4.2 指数函数（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高一数学重难点突破+课时训练 （人教A版2019必修第一册）山东省淄博市淄川区淄川中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题山东省菏泽市成武第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2022-2023学年高一上学期1月期末考试数学试题江苏省2022-2023学年高一上学期期末数学仿真试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高一下学期期初数学试题青海省西宁北外附属新华联外国语高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）第三章 指数运算与指数函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第一册）第三章 指数运算与指数函数 综合测试 -2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第三章 指数运算与指数函数（A卷） -2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第一册四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一下学期2月月考数学试题山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题（B）（已下线）4.2 指数函数（重难点突破）-【冲刺满分】河南省实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题福建省三明市五县2023-2024学年高一上学期期中联合质检考试数学试题新疆乌鲁木齐市第十一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷广东省揭阳市第一中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题（已下线）高一上学期期末复习【第四章 指数函数与对数函数】十一大题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列
名校
9 . 已知函数
，
（其中
，
，
为常数）
(1)当
，
，
时，求函数
在
上的值域；
(2)当，，时，判断函数
在上的单调性，并加以证明；
(3)当
，
时，方程
有三个不同的解，求实数的取值范围.
，（其中，，为常数）(1)当
，，时，求函数在上的值域；(2)当
，，时，判断函数在上的单调性，并加以证明；(3)当
，时，方程有三个不同的解，求实数的取值范围.
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19-20高一·浙江·期末
名校
10 . 已知函数
.
(1)判断函数在
上的单调性并证明；
(2)判断并证明函数的奇偶性，并求在区间
上的最大值与最小值.
.(1)判断函数
在上的单调性并证明；(2)判断并证明函数
的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值.
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2023-09-07更新
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533次组卷
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16卷引用：河北省承德市第二中学2024届高三上学期开学初摸底数学试题
河北省承德市第二中学2024届高三上学期开学初摸底数学试题江西省2024届高三上学期一轮复习联考数学试题（已下线）【新东方】杭州高一数学试卷219（已下线）【新东方】杭州高一数学试卷215（已下线）【新东方】2019新中心五地070高中数学浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题（已下线）【新东方】浙江省“七彩阳光”联盟2019-2020学年高一上学期期中数学试题（已下线）【新东方】双师 (9)安徽省亳州市第二中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题广西南宁市东盟中学2020-2021学年高一年级上学期期中考试数学试题陕西省西安南开高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题福建省泉州中远学校2022-2023学年高二高中学业水平合格性考试数学模拟试题（一）福建省龙岩市上杭县才溪中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题广东省肇庆市封开县广信中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题广西壮族自治区百色市德保县2023-2024学年高一上学期期中数学试题
