1 . 已知数列的前项的和为，记．
（1）若是首项为，公差为的等差数列，其中，均为正数．
①当，，成等差数列时，求的值；
②求证：存在唯一的正整数，使得．
（2）设数列是公比为的等比数列，若存在，（，，）使得，求的值．

2 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

3 . 若实数满足，则的最大值为________.

4 . 各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．
（1）求证为等差数列并求数列、的通项公式；
（2）若,数列的前n项和．
①求；
②若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．

5 . 已知各项均为正整数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n﹣1+ka_n＝ta_n²﹣1，n≥2，n∈N^*（其中k，t为常数）．
（1）若k＝，t＝，数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求证：k＜t．

6 . 已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.

7 . 已知非空集合满足.若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质.记具有性质的集合的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.

8 . 已知数列满足，且当,且时，有，
1．求证：数列为等差数列；
2．已知函数，试问数列是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由.

9 . 数列满足：，对任意有成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，通项公式为，若对任意的存在，使得成立，则称数列为“”型数列．已知为偶数，试探求的一切可能值，使得数列是“”型数列．.

10 . 已知两个无穷数列分别满足，，
其中，设数列的前项和分别为，
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”，求；
②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.