解题方法
1 . （1）在复数范围内解关于
的方程：
；
（2）设
是虚数单位，求复数
为纯虚数的充要条件；
（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数
，求点
对应的复数.
的方程：；（2）设
是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件；（3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数
，求点对应的复数.
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2 . 为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程．为调研学生对人工智能的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中数据如下表：
(1)依据小概率值
的独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？
(2)以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方差．
参考公式：
，
．
参考数据：
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男生 | 48 | 2 | 50 |
女生 | 32 | 18 | 50 |
合计 | 80 | 20 | 100 |
的独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？(2)以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方差．
参考公式：
，．参考数据：
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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3 . 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对
看作一个向量，记
，称
为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于
，我们有如下运算法则：①
；②
；③
；④
.
(1)设
，求
和
；
(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论
，判断其是否正确并说明理由；
(3)设
，集合
.求
的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的
.
看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④.(1)设
，求和；(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论
，判断其是否正确并说明理由；(3)设
，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的.
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解题方法
4 . 南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为
，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附：
.
| 对滑雪的喜爱情况 | 性别 | 合计 | |
| 男性游客 | 女性游客 | ||
| 喜欢滑雪 | 60 | 35 | 95 |
| 不喜欢滑雪 | 40 | 65 | 105 |
| 合计 | 100 | 100 | 200 |
的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为
，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.附：
. | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
5 . 某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.
(1)根据所给数据，完成下面的
列联表：根据小概率值
的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
(2)从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附：①
，其中.
②临界值表
(1)根据所给数据，完成下面的
列联表：根据小概率值的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？| 性别 | 经常体育锻炼与否 | 合计 | |
| 经常体育锻炼 | 不经常体育锻炼 | ||
| 男 | |||
| 女 | |||
| 合计 | |||
附：①
，其中.②临界值表
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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6 . 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为
，求随机变量的分布列和期望.
附：
，其中.
性别 | 足球 | 合计 | |
喜欢 | 不喜欢 | ||
男生 | 30 | 20 | 50 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 40 | 40 | 80 |
的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为
，求随机变量的分布列和期望.附：
，其中.
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
7 . 已知复数
，求当实数
为何值时；
(1)
为实数；
(2)为纯虚数；
(3)为虚数．
，求当实数为何值时；(1)
为实数；(2)
为纯虚数；(3)
为虚数．
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解题方法
8 . 高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的
名学生，其中男生占调查人数的
，已知男生有
的人选了物理，而女生有
的人选物理.
(1)完成下列列联表：
(2)若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
(3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率.
附：
名学生，其中男生占调查人数的，已知男生有的人选了物理，而女生有的人选物理.(1)完成下列
列联表：| 物理 | 历史 | 总计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 总计 | |
(3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率.
附：
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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9 . 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
(1)根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）
并依据小概率值
的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
(2)根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式:
，其中.
(1)根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）
疗法 | 疗效 | 合计 | |
未治愈 | 治愈 | ||
甲 | |||
乙 | |||
合计 | |||
的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;(2)根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为
，求的分布列及数学期望.参考公式:
，其中.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 7.879 | 10.828 |
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10 . （1）已知复数
（其中为虚数单位）满足
，求实数
的值；
（2）在复数范围内，解方程：
．
（其中为虚数单位）满足，求实数的值；（2）在复数范围内，解方程：
．
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