1 . 已知点是平面直角坐标系异于的任意一点，过点作直线：及：的平行线，分别交轴于，两点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）在轴正半轴上取两点，，且，过点作直线与轨迹交于，两点，证明：.

2 . 如图，在三棱锥中，平面平面是等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证；
（2）求二面角的正弦值.

3 . 在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，为等边三角形，为中点.

（1）求证：平面.
（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

4 . 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，在棱上．

（1）若为的中点，求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为时，求的长．

5 . 已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点P(1，2)的直线l₁，l₂分别与曲线C交于A，B两点，直线l₁，l₂的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．

6 . 如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若E是侧棱上的一点，且与底面所成的是为45°，求二面角的余弦值.

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．

8 . 为坐标原点，椭圆：的离心率为，椭圆的右顶点为.设，是上位于第二象限的两点，且满足，是弦的中点，射线与椭圆交于点.
（1）求证：直线与直线斜率的乘积为；
（2）若，求椭圆的标准方程.

9 . 如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．

（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．

10 . 已知椭圆：右焦点为，为椭圆上异于左右顶点，的一点，且面积的最大值为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明直线平分.