1 . 用数学归纳法证明（为正整数）．

2 . 用数学归纳法证明以下恒等式：
(1)；
(2).

3 . 设数列满足，，
(1)求，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)利用数学归纳法证明上述猜想．

4 . 设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记，，用数学归纳法证明：.

5 . 设数列满足，.

(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.

6 . 已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．
(1)计算，，，的值；
(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．

7 . 某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件.
(1)求、的值，并写出与满足的关系式；
(2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由.

8 . 若各项均为正数的数列对一切均满足.证明：.

9 . 已知数列满足,,,证明:.

10 . 设，且，证明∶.