1 . 参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点．
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程；
(2)设点，设点对应的参数为，试证明：；
(3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由．

2 . 在极坐标系中，曲线的方程是：，且与、轴正半轴交于、两点.点为曲线上任意一点，将绕原点逆时针旋转，且长度变为原来的一半，得到点，点的轨迹为曲线.射线：与曲线交于点，与曲线交于点.以极点为原点，极轴为轴建立直角坐标系.
(1)求直线的一个参数方程及曲线的极坐标方程；
(2)求线段的最大值.

3 . 第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会．本次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项．在开闭幕期间，运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人．武大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相．某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念．如图，在极坐标系中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线．

(1)当的时；求以极点为圆心的单位圆与的交点的极坐标；
(2)设和是上的两点，且，求的最大值．

4 . 对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．

5 . 坐标平面上的点也可表示为，其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式：并利用该公式，求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标；
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
（i）求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；
（ii）已知曲线，点，直线AB交曲线于，两点，作的外角平分线交直线AB于点，求|FM|的最小值.

6 . 极坐标方程，和所表示的曲线围成的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 伯努利双纽线，简称双纽线，是1694年伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，指的是由到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8或者无穷大的符号∞.如图是一个对称中心为原点且长轴在x轴上的伯努利双纽线，它的极坐标方程为，其中原点到曲线与横轴交点的距离为a．
   
(1)写出伯努利双纽线的直角坐标方程；
(2)曲线与伯努利双纽线交于点P，当时，求点P的极坐标．

8 . 在极坐标系中，方程表示的曲线是（       ）

A．以点为圆心，3为半径的圆

B．以点为圆心，3为半径的圆

C．以点为圆心，3为半径的圆

D．以点为圆心，3为半径的圆

9 . 已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)求点B的极径.

10 . “太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；
(2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．