1 . 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

2 . 已知椭圆：，其中，为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点，.当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时，原点到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，当面积为时，求的最大值.

3 . 已知椭圆的左焦点为，过点作一条斜率大于0的直线与交于不同的两点、，延长交于点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：点与点关于轴对称．

4 . 如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．

5 . 已知圆，直线，且直线与圆交于两点.
（1）若，求直线的倾斜角；
（2）若点满足，求此时直线的方程.

6 . 已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值.

7 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.

8 . 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为， 在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

9 . 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

10 . 已知椭圆的长半轴长为2，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于两点，若，求直线l方程．