1 . 已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．

2 . 已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为．
(1)求的方程；
(2)直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上.
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）．

3 . 如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M.

（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.

4 . 已知，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.
（1）设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：；
（ii）证明：是直角三角形；
（2）求的面积的最大值.

5 . 如图所示，椭圆，、，为椭圆的左、右顶点．

设为椭圆的左焦点，证明:当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．
若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆的标准方程．
若直线与中所述椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 已知椭圆经过点，O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为.
（1）当时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；
（2）当时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

7 . 已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线分别交直线于两点，求证：．

8 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

9 . 已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．

10 . 已知椭圆E：的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标.